南通市通州区2020届复学后联考数学试卷
Ⅰ试题
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）
1．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，4}，则A∪B＝ ▲ ． 2．已知复数z满足(z-2)i=1+i(i为虚数单位），则z的模为 ▲ ． 3. 根据如图所示的伪代码，可这输出的S= ▲ . 4．函数f(x)＝lnx?x的单调减区间为 ▲ ．．
5．从0、2中选一个数字．从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中无重复的个数为 ▲ ．
6．若函数f(x)?x?2lnx?2的图像在x?1处的切线l与两坐标轴分别交于点A，B，则线段AB的长为 ▲ .
7．已知各项均不相等的数列?an?为等差数列，且a1,a4,a10恰为等比数列?bn?的前三项.若 ak?b6，则k? ▲ . 8．在△ABC中，如果sin A：sin B：sin C＝2：3：4，则sin C＝ ▲ ．
9．若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，记圆柱、球的表面积分别为S1、S2，则S1：S2＝ ▲ ．
10．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题—“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在如图所示的直角坐标系xOy中，设军营所在平面区域的边界为x2＋y2＝4，河岸线所在直线方程为x＋y﹣6＝0，假定将军从点P(3，﹣2)处出发，只要到达军营所在区域即回到军营，则将军行走的最短路程为 ▲ ． 11.在?ABC 中AB?AC?0,BD?DC,AC?3AE,AD与BE交于点F.若
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32i?1 s?1 Whilei?4 s?s?2i i?i?1 End While Print s AB?4,AC?3,则BF?AC的值为 ▲ . 12．已知a?0，b?0，且a?12b?6?31ab?，则的最大值为 ▲ . aba?3b1x2y213．已知椭圆2?2?1(a＞b＞0)的离心率e?，A、B分别是椭圆的左、右顶点，P
ab2是椭圆上不同于A、B的一点，直线PA、PB的倾斜角分别为?、?，则为 ▲ ．
14．已知函数f(x)??lnx?cos(???)的值
cos(???)4?x，??2，曲线y?f(x)上总存在两点M(x1，y1)，xN(x2，y2)使曲线y?f(x)在M、N两点处的切线互相平行，则x1＋x2的取值范围为 ▲ ．
二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）
15．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E为 棱PD的中点，PA⊥平面ABCD． （1）求证：PB //平而AEC；
（2）若四边形ABCD是矩形且PA＝AD，求证：AE⊥平面PCD．
416．（本小题满分14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cosB＝．
5
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sinB
（1）若c＝2a，求的值；
sinCπ
（2）若C－B＝，求sinA的值．
4
17．（本小题满分14分）如图，圆O是一半径为10米的圆形草坪，为了满足周边市民跳广场舞的需要，现规划在草坪上建一个广场，广场形状如图中虚线部分所示的曲边四边形，其中A，B两点在⊙O上，A，B，C，D恰是一个正方形的四个顶点.根据规划要求，在A，B，C，D四点处安装四盏照明设备，从圆心O点出发，在地下铺设4条到A，B，C，D四点线路OA，OB，OC，OD. （1）若正方形边长为10米，求广场的面积；
（2）求铺设的4条线路OA，OB，OC，OD总长度的最小值.
x2y218．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆E：2?2?1(a＞
ab
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b＞0)的左、右顶点分别为A1、A2，上、下顶点分别为B1、B2．设直线A1B1倾斜角的余弦值为
22，圆C与以线段OA2为直径的圆关于直线A1B1对称． 3（1）求椭圆E的离心率；
（2）判断直线A1B1与圆C的位置关系，并说明理由； （3）若圆C的面积为??，求圆C的方程．
19．（本小题满分16分）已知函数f1(x)?ax?bx?c,f2(x)?e.
2xyBAOBAx
1,b?1,c?0时，设f(x)?mf2(x)?f1(x)，且函数f(x)在R上单调递增. 2 ①求实数m的取值范围；
（1）当a?②设h(x)?(x?3m)f2(x),当实数m取最小值时，求函数h(x)的极小值. (2) 当a?0,b?1,c?1时，证明：函数g(x)?f2(x)?f1(x)有两个零点.
20．（本小题满分16分）20.已知无穷数列?an?的前n项中的最大项为An，最小项为Bn，设bn?An?Bn
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2（1） 若an?2n?1,求数列?bn?的通项公式； （2） 若an?2n?1，求数列?bn?的前n项和sn； n2（3） 若数列?bn?是等差数列，求证：数列?an?是等差数列.
Ⅱ试题
21．【选做题】在A、B、C三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A．选修4—2：矩阵与变换
? 3 0?设a，b∈R．若直线l：ax＋y－7＝0在矩阵A=?? 对应的变换作用下，得到的直线为
?－1b?
l′：9x＋y－91＝0．求实数a，b的值． B．选修4—4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，已知A( 1，
??)，B( 9，)，线段AB的垂直平分线l与极轴交于点33C，求l的极坐标方程及?ABC的面积．
C．选修4—5：不等式选讲
已知实数a，b满足|a?b|?2，求证：|a2?2a?b2?2b|?4(|a|?2)．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）由数字0,1,2,3,4组成一个五位数?.
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（1）若?的各数位上数字不重复，求?是偶数的概率；
（2）若?的各数位上数字可以重复，记随机变量X表示各数位上数字是0的个数，求X的分布列及数学期望.
23．（本小题满分10分）如图，F是抛物线y2＝2px(p > 0)的焦点，过点F且与坐标轴不垂直的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，交抛物线的准线于点H，其中y1>0,y1y2=-4．过点H作y轴的垂线交抛物线于点P，直线PF交抛物线于点Q. （1)求p的值；
（2)求四边形APBQ的而积S的最小值．
参考答案及评分标准
Ⅰ试题
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一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）
1．{1，2，3，4} 2. 10.. 3.5. 4. (
215，??) 5. 30．6. 22 7.94. 8．9．3：2 2411910．73﹣211.12. 9 13．14．(8，??)．
47
二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．（本小题满分14分）
证明:（1）连接BD交AC于O，
因为ABCD是平行四边形，所以O是BD的中点， 因为E为PD的中点，所以OE//PB
又因为PB?平面AEC，OE?平面AEC,所以PB//平面AEC………………6分 （2）因为PA?AD且E是PD的中点，所以AE?PD 又因为PA?平面ABCD，CD?平面ABCD，所以PA?CD 因为四边形ABCD是矩形，所以CD?AD，因为PA,AD?平面PAD且PAIAD?A
所以CD?平面PAD又因为AE?平面PAD，所以CD?AE
PD,CD?平面PDC且PDICD?D,所以AE?平面PCD………………14分
16．（本小题满分14分） 解：（1）解法1：
a2＋c2－b244
在△ABC中，因为cosB＝，所以＝．………………2分
52ac5
c
()2＋c2－b224b29b35
因为c＝2a，所以＝，即2＝，所以＝．………………4分
c5c20c102c×2
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sinBbsinB35又由正弦定理得＝，所以＝．………………6分
sinCcsinC10解法2：
43
因为cosB＝，B∈(0，π)，所以sinB＝1－cos2B＝．………………2分
55因为c＝2a，由正弦定理得sinC＝2sinA，
68
所以sinC＝2sin(B＋C)＝cosC＋sinC，即－sinC＝2cosC．………………4分
5525
又因为sin2C＋cos2C＝1，sinC＞0，解得sinC＝，
5sinB35所以＝．………………6分
sinC10
47
（2）因为cosB＝，所以cos2B＝2cos2B－1＝．………………8分
5253
又0＜B＜π，所以sinB＝1－cos2B＝，
5
3424
所以sin2B＝2sinBcosB＝2××＝．………………10分
5525ππ3π
因为C－B＝，即C＝B＋，所以A＝π－(B＋C)＝－2B，
444
3π3π3π312
所以sinA＝sin(－2B)＝sincos2B－cossin2B＝．………………14分
4445017．（本小题满分14分）
（1）连接AB，∵AB＝10，∴正方形ABCD的面积为100， 又OA＝OB＝10，∴△AOB为正三角形，则?AOB??3，
而圆的面积为100π，∴扇形AOB的面积为又三角形AOB的面积为则广场面积为100?100?50??， 63150??10?53?253.∴弓形面积为?253， 2350??253（平方米）；………………6分 3（2）过O作OK⊥CD，垂足为K，过O作OH⊥AD（或其延长线），垂足为H，
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设∠OAD＝θ（0＜θ＜?4），则OH＝10sinθ，AH＝10cosθ，
∴DH＝|AD﹣AH|＝|2OH﹣AH|＝|20sinθ﹣10cosθ|，
∴OD?100sin2??(20sin??10cos?)2?300?2002sin?2??分 ∴当θ??????.……………12
4??8时，ODmin?10?2?1.
?∴4条线路OA，OB，OC，OD总长度的最小值为2?10（米）. ………………14分
?2?1?20?202?
18．（本小题满分16分）解：（1）设椭圆E的焦距为2c（c>0）， a因为直线A1B1的倾斜角的余弦值为22，所以?22，
33a2?b22于是a2?8b2，即a2?8(a2?c2)，所以椭圆E的离心率e?c2?7?14.………………4
84a分
（2）由e?14可设a?4k?k?0?，c?14k，则b?2k，
4于是A1B1的方程为：x?22y?4k?0， 故OA2的中点?2k, 0?到A1B1的距离d?2k?4k?2k， 3又以OA2为直径的圆的半径r?2k，即有d?r，所以直线A1B1与以OA2为直径的圆相切．
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因为圆C与以线段OA2为直径的圆关于直线A1B1对称， 所以直线A1B1与圆C相切．………………10分 （3）由圆C的面积为??知，圆半径为2，从而k?1，
设OA2的中点?2, n?， 0?关于直线A1B1：x?22y?4?0的对称点为?m,?n2?m?2?4??1,则?解得m?2, n?82．
33?m?2?22?n?4?0．?22所以，圆C的方程为x?2319．（本小题满分16分）
???2?y?823?2?4．………………16分
12xx?x,得f?(x)?me?x?1, 2x?1由题意知f?(x)?0在R上恒成立，?m?x 在R上恒成立。
e（1）①f(x)?mex?令?(x)?x?1x?则m??(x),?(x)??, maxexex令?(x)?0，得x?0,令??(x)?0,得x?0,
??(x)在???,0?上单调递增，在0,??)单调递减，??(x)max??(0)?1,
?m?1,即实数m的取值范围是[1,??).………………4分
②当实数m取最小值时，m?1,?h(x)?(x?3)e.
2xh?(x)?2xex?(x2?3)ex?(x2?2x?3)ex，
令h?(x)?0,解得x?1或x??3,
当x??3或x?1时，h?(x)?0;当?3?x?1时，h?(x)?0.
?h(x)在???,?3?上单调递增，在（-3,1）上单调递减，在(1,??)上单调递增，
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?当x?1时，h(x)取得极小值，极小值为?2e.………………8分
（2）当a?0,c?1时，函数g(x)?e?bx?1(b?1),g?(x)?e?b. 令g?(x)?0,解得x?lnb
当x?lnb，时g?(x)?0,g(x)在???,lnb?上单调递减，当x?lnb时，
xxg?(x)?0,g(x)在?lnb,???上单调递增，?g(x)min?g(lnb)?b?blnb?1(b?1).
令p(b)?b?blnb?1(b?1) 则p?(b)?1?lnb?1??lnb?0
?p(b)在(1,??)上单调递减，?p(b)?0,即?g(x)min?g(lnb)?0. g(b)?eb?b2?1(b?1)
令r(b)?e?b?1(b?1)，则r?(b)?e?2b.， 令t(b)?e?2b(b?1),则t?(b)?e?2 因为b?1,?t?(b)?e?2?0,
bbbb2b?r?(b)?eb?2b在?1,???上单调递增，?r?(b)?0,
r(b)在?1,???上单调递增，所以r(b)?0,即g(b)?0.
又当b?1,时，0?lnb?b,
所以由零点存在性定理知，存在lnb?x1?b，使得g(x1)?0 又g(0)?0,?g(x)由两个零点. ………………16分 20．（本小题满分16分）
（1）由an?2n?1得?an?是递增数列，所以An?an?2n?1,Bn?a1?1, 所以bn?An?Bn?2n.………………2分
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（2）由an?2n?12n?12n?13?2n得a?a???n?1, n?1n2n2n?12n2当n?1，an?1?an?0，即a1?a2;
当n?2，an?1?an?0，即a2?a3?a4?┈
1357,a2?,a3??a1,a4??a1, 248165532n?1所以b1?1,b2?,b3?,当n?4时，bn??, n424497所以s1?1,s2?,s3?,
4232n?13k(n?1)?bkn?b当n?4时，令bn?????,
42n42n?12n32n?132n?12n?3则k?2,b?3,即bn?? ??n?1?4422n2n7391111132n?12n?3所以sn??(n?3)?(3?4)?(4?5)?????(n?1?)
242n222227392n?3 ??(n?3)?3?2422n193n2n?3???.842n
97193n2n?3综上所述，s1?1,s2?,s3?，当n?4时，sn???.…………8分 n42842又a1?(3)设数列?bn?的公差为d，则bn?1?bn?An?1?An?Bn?1?Bn?d
,由题意An?1?An,Bn?1?Bn
① d?0,An?1?An,对任意n?N?都成立， 即An?1?an?1?An?an，所以?an?是递增数列。
所以An?an,Bn?a1，所以d?An?1?An?Bn?1?Bn?an?1?an 所以?an?是公差为d的等差数列；………………10分 ② 当d?0时，Bn?1?Bn对任意n?N?都成立，
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进而Bn?1?an?1?Bn?an，
所以?an?是递减数列.An?a1,Bn?an 所以d?An?1?An?Bn?1?Bn?an?1?an
所以?an?是公差为d的等差数列；………………14分 ③ 当d?0时，An?1?An?Bn?1?Bn?0,
因为An?1?An与Bn?1?Bn中至少有一个为 0，所以二者都为0， 进而?an?为常数列,
综上所述，数列?an?等差数列. ………………16分
Ⅱ试题
21．【选做题】在A、B、C三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A．选修4—2：矩阵与变换
解：在直线l：ax＋y－7＝0取点A(0，7)，B(1，7－a)．
? 3 0?? 0?? 0?? 3 0?? 1?? 3因为?，………………4分 ?? 7?＝? 7b?，??? 7－a?＝? b(7－a)－1?
??－1b??－1b?
所以A，B在矩阵A对应的变换作用下分别得到点A′(0，7b)，B′(3，b(7－a)－1)． 由题意，知A′，B′在直线l′：9x＋y－91＝0上，
?7b－91＝0，
所以?………………8分
?27＋b(7－a)－1－91＝0．
解得a＝2，b＝13．………………10分 B．选修4—4：坐标系与参数方程
?解：由题意，线段AB的中点坐标为(5,)，
3设点P(?,?)为直线l上任意一点，
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在直角三角形OMP中，?cos(??)?5，
3所以，l的极坐标方程为?cos(??)?5，………………5分
3令??0，得??10，即C(10,0)．（8分）
1?所以，?ABC的面积为：?(9?1)?10?sin?203．………………10分
23??C．选修4—5：不等式选讲
证明：由|b|?|a|剟|a?b|2，可得|b|?|a|?2，
|a2?2a?b2?2b|?|(a?b)(a?b)?2(a?b)| ?|a?b|g|a?b?2|?2|a?b?2|，………………4分
要证|a2?2a?b2?2b|?4(|a|?2)，
即证|a?b?2|?2(|a|?2)，………………8分 由于|a?b?2|?|a|?|b|?2， 即证|a|?|b|?2?2(|a|?2)， 即为|b|?|a|?2，显然成立． 故原不等式成立．………………10分
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）
54A?A54?96（个）, 【解析】（1）由0,1,2,3,4组成的五位数共有
其中是偶数的，第一类，个位是0，有A44?24（个）;（2分）
13?是偶数的概率为第二类，个位是2或4，有C12C3A3?36(个)，所以
P?24?365?.………………5分 968 高三数学试卷第 14 页 共 16 页
1（2）因为首位一定不为0，第2位至第5位，各数位上数字为0的概率均是，且相互独
51立，所以X~B(4,).………………6分
514?ii1i所以P(X?i)?C4()(1?),i?0,1,2,3,4,
55所以X的概率分布列为
X P 0 256 6251 256 6252 96 6253 16 6254 1 62514E(X)?4??.………………10分
5523．（本小题满分10分） 解答：（1）设AB方程为x?Ay?p， 2与y2?2px联立，消去x整理得y2?2pAy?p2?0
所以y1y2??p2??4，得p??2（舍去）或p?2………………2分 （2）由（1）知抛物线方程为y2?4x，F?1,0?，准线方程为x??1 因为直线AB与坐标轴不垂直，所以设AB方程为x?Ay?1A?0，Q?x3,y3? ?x?Ay?1由?2得y2?4Ay?4?0，y1y2??4,y1?y2?4A ?y?4x所以AB?1?A2|y1?y2|?4?A2?1? 令x??1，则y??2?2?2??1，所以H??1,??，P?2,??
A?A?A??AA2?1y?1 PF方程为x?2A 高三数学试卷第 15 页 共 16 页
?A2?122A?1??y?1?x?2由?得y?y?4?0， 2AA?y2?4x?所以?222y3??4，y3?2A，代入y?4x，得x3?A，所以Q?A2,2A? AQ到直线AB的距离为d1?A2?11?A，
2P到直线AB的距离为d2?A2?1A1?A22
所以四边形APBQ的面积S??A?1??21AB?d1?d2??22A21?A223?1?A2A2?5
令A2?t?0，则S2?4?1?t?t25
S'?x??2?1?t4??3t?2?t3
当0?t?22时，S'?x??0，S?x?单调递减，当t?时，S'?x??0，S?x?单调递增 3355251522所以，当t?时，S?x?有最小值，S?x?的最小值为………………10分
9273
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江苏省南通市通州区2020届高三年级第二学期复学后联考数学试卷+附加题(含答案)
