《高数１》课后练习题
一、选择题
11、x?0是函数f(x)?xsin的( ).
x A、连续点 B、可去间断点 C、跳跃间断点 D、第二类间断点 2、下列各极限均存在，则下列等式成立的是( ).
f(x0)?f(x0?h)f(x0)?f(x0?h)?f'(x0) B、lim?f'(x0)
h?0h?0hhf(x0?h)?f(x0)f(x0?2h)?f(x0) Clim?f'(x0) D、lim?f'(x0)
h?0h?0hhdx3、?= ( ).
1?cosx A、lim A、tanx?secx?C B、?cotx?cscx?C
xx? C、tan?C D、tan(?)?C
2244、对反常积分?e?xdx敛散性的描述正确的是 ( ).
0?? A、发散 B、收敛于0 C、收敛于1 D、收敛于?1 5、设e?x是f(x)的一个原函数，则?xf(x)dx?( )。
A、e?x(1?x)?c B、e?x(1?x)?c C、e?x(x?1)?c D、?e?x(1?x)?c 6．当x?0时，x?sinx是x2的（ ）.
A．等价无穷小 B．同阶但不等价的无穷小 C．高阶无穷小 D．低阶无穷小 7．设函数f(x)在点x?1处可导，且lim( ) .
A．
11 B．? C．2 D． ?2 22?x?0f(1?2?x)?f(1)?1，则f?(1)等于
?x8．若F?(x)?f(x)，则?f(x)dx=（ ）.
A. F(x) B. f(x) C. f(x)?c 9．下列反常积分收敛的是（ ）.
A. ??? D. F(x)?c
e??dx??dxdx B. C. 12??eex(lnx)xlnxx(lnx)2 D. ???elnxdx x10．非齐次微分方程y???3y??2y?e?x的一个特解y?应设为（ ）.
A．y??xe?x B．y??Ax2e?x C．y??Ae?x D．y??Axe?x
11、下列计算正确的是（ ） A．limxsinx?0111?limxlimsin?0?limsin?0 x?0x?0x?0xxx1=limxx?0sinB． limxsinx?011sin1x?1x?1xsin?lim C． lim x??x??11xxx D．limxsinx??11?limxlimsin??limx?0?0
x??xxx??x??12、曲线y?2?3x?1在点(1,2)处的切线方程为（ ）
1 A．不存在 B.x?1 C.y?2 D.y?2?(x?1)
313、设函数f(x)连续，且g(x)??x3af(t)dt，则g?(x)? （ ）
A.f(x) B.f(x3) C.3x2f(x) D.3x2f(x3) 14、反常积分A. 收敛于
???01dx ( ) 2x?2x?2?? B. 收敛于 C. 收敛于? D.发散 42?2x15、微分方程y???y??6y??3e A.ae二、填空题
?2x 的特解y*的形式为( )
?2x B.?ae?2x C.axe D.ax2e?2x
1、设f(x)?x(x?1)(x?2)L(x?n)，则f'(0)?_____.
2、函数f(x)?ln(2x?1)在[1,2]内满足拉格朗日中值定理的??________. 3、函数y?3x2?x3的凹区间为_______ 4、函数?(x)??etdt，则?'(x)?________.
ax25、微分方程y??ex?y通解是____________________________. 6．设y?arcsinx，则dy?_______ _ _ ___.
?e3x?1?x?0 在x?0处连续，则a? . 7．若函数f(x)??x?x?0?a8．函数y?2x2?lnx单调增加的区间是________ ____. 9．定积分
? 3 1max(2,x)dx? .10．微分方程y??y?0的通解
为 . 11.设F(x)??x1?sint dt，则F?()?____________2t212、设f(x)在x0点可导，且f(x0)?0，则limhf(x0?)?_____________.
h??h1、函数y?x?1x?2x?3x2的连续区间是 2、设
y?2arctan,则dy? 3、不定积分?arcsinx1?x2dx?
ex4、设f(x)的一个原函数为F(x)?2，则?xf(x2?1)dx?
x5、微分方程y???2y??3y?0的通解为___________________ 三、计算下列极限
13?1?1.求lim(. 2.求?)lim??x?11?xx?0??x?1?x3tanx 3.求极限lim2?1) x?xln(1?2x)
x?0sin3x4．求极限limx(x????2?arctanx)， 5、limx(1?sinx??6.设f(x)在?0,???内连续,且limf(x)?1,求函数ex????x0etf(t)dt的导数及极限
x???lime?x?etf(t)dt。7求极限lim0xx?0xtan2x?x?，8lim??
x??x?21?x?1?x??9、求极限limx?0xtan2x?x? 10、求极限 lim??
x??1?x?1?x?x?2?11、由方程ysinx?cos(x?y)?0所确定的隐函数y?y(x)的导数12、求函数y?xlnx(x?0)的导数
dy. dxdy. dx?x?3e?t13.求参数方程?t?y?2ed2y所确定的函数y?y(x)的二阶导数2
dx14.求由方程yex?1?xey所确定的隐函数的微分dy
?x?ln(1?t2)dy15.已知函数y?y(x)由参数方程?所确定，求.
dxy?t?arctant?16. 设y?2x?1 ，求dy(2x?3)(5?2x)x?0.
?x2x?117.设函数f(x)?? 在x?1处可导，求a,b的值.
ax?bx?1?d2y18.设y?ln(x?1?x)，求2.
dx219.设y?y(x)满足方程lnx2?y2?arctany，求y'. xxa2dy22x?a?ln(x?x2?a2) ，求20、设y? 22dx?x?0eu2dud2y??t21、设?，求2
2dxt??y?te五、计算下列不定积分和定积分
?21.求??|xsinx|dx. 2.求??22?1?lnxdx. 3.求?e2xcosxdx.
0x14xln(x?1)dx, 6.?4.?tanxsecxdx, 5.?dx 20xx?137.?arcsinxdx. 8.求
ln2222xx1?xdx 9. ?0?0e?1dx
110.设e?x是f(x)的一个原函数，求?xf(x)dx 11、计算积分?1?14?x2dx 12、计算积分xarctanxdx
?2六、1.求微分方程：xy\?3y'?0 的通解.
2.设连续函数f(x)满足方程f(x)?2?f(t)dt?x2，求f(x)．
0x?y''?e2y3.求微分方程?的特解
?y|x?0?y'|x?0?04.求微分方程y'?(x?y?1)2?x?y的通解. 5.求微分方程x2y??2xy?sinx的解. 6.求微分方程：y???2y??8y?0的通解. 7、求微分方程cosydx?(1?e?x)sinydy?0在y8、求微分方程y???七、应用题
1、设排水阴沟的横断面积一定，横断面的上部是半圆形，下部是矩形（矩形的宽等于圆的直径），问圆半径r与矩形高h之比为何值时，建沟所用材料（包括顶部、底部及侧壁）为最省.
2、一物体按规律x?ct3做直线运动，介质的阻力与速度的平方成正比，计算物体由x?0移至x?a时，克服介质阻力所做的功.
3．一窗户下部为矩形，配以透明玻璃，上部为半圆形，其直径等于矩形的底，上部配以彩色玻璃，已知窗户周长为P，彩色玻璃透光度（单位面积所透过的光线多少的一种度量）是透明玻璃的一半，求矩形底为多少时，该窗户透光量最大
4.设平面图形由y?lnx, y?0及曲线y?lnx过原点的切线所围成，求该图形的面积．
5.求由抛物线y?x与直线y?x所围成的平面图形的面积，并求这一平面图
x?0?0时的特解；
1y??x的通解 x
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