2008年复课备考《导数》（文科）专题讲座
一、基础训练：
134x?x在点(1,)处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ） 331212A． B． C． D．
993313442解：曲线y?x?x?y??x?1?k?2,在点(1,)处的切线方程是y??2(x?1)，它与坐标轴的
333211交点是(，0)，(0，－)，围成的三角形面积为，选A。
3394322．设p:f(x)?x?2x?mx?1在(??，??)内单调递增，q:m≥，则p是q的（ ）
31． 曲线y?Ａ．充分不必要条件 Ｃ．充分必要条件
Ｂ．必要不充分条件 Ｄ．既不充分也不必要条件
解：f(x)在(??，??)内单调递增，则f?(x)在(??，??)上恒成立。
44?3x2?4x?m?0从而??0?m≥；反之，q:m≥?f?(x)?0，
33?f(x)在(??，??)内单调递增，选C。
3．曲线y?x?2x?4x?2在点(1，一3)处的切线方程是___________
解：点(1，-3)在曲线y?x?2x?4x?2上，故切线的k?y'|x?1?3x2?4x?4|x?1??5 ∴切线方程为y?3??5?x?1?，即5x?y?2?0
4．已知函数f(x)?x?12x?8在区间[?3,3]上的最大值与最小值分别为M,m，则M?m? . 解：令f'(x)?3x?12＝0，得x1＝2，x2＝－2，f(?3)＝17，f（3）＝－1， f（－2）＝24，
233232??f（2）＝－8，所以，M－m＝24－（－8）＝32。
二、例题精讲：
例1．设函数f(x)?2x?3ax?3bx?8c在x?1及x?2时取得极值。
（1）求a、b的值；（2）若对于任意的x?[0,3]，都有f(x)?c成立，求c的取值范围。
解：（1）f?(x)?6x?6ax?3b，因为函数f(x)在x?1及x?2取得极值，则有f?(1)?0，f?(2)?0．即
2232?6?6a?3b?0， 解得a??3，b?4． ??24?12a?3b?0．
（2）由（1）可知，f(x)?2x?9x?12x?8c，f?(x)?6x?18x?12?6(x?1)(x?2)． 当x?(01)，时，f?(x)?0；当x?(1，2)时，f?(x)?0；当x?(2，3)时，f?(x)?0． 所以，当x?1时，f(x)取得极大值f(1)?5?8c，又f(0)?8c，f(3)?9?8c．
则当x??0，3?时，f(x)的最大值为f(3)?9?8c．因为对于任意的x??0，3?，有f(x)?c恒成立，
2322所以 9?8c?c，解得 c??1或c?9，因此c的取值范围为(??，?1)U(9，??)．
例2．设函数f(x)?ax?bx?c(a?0)为奇函数，其图象在点(1,f(1))处的切线与直线x?6y?7?0垂直，导函数f'(x)的最小值为?12。（1）求a，b，c的值；（2）求函数f(x)的单调递增区间；（3）求函数f(x)在[?1,3]上的最大值和最小值。
解：（1）∵f(x)为奇函数，∴f(?x)??f(x)即?ax?bx?c??ax?bx?c ∴c?0 ∵f'(x)?3ax?b的最小值为?12∴b??12，又直线x?6y?7?0的斜率为
232331 ，因此，6f'(1)?3a?b??6∴a?2，b??12，c?0．
23（2）f(x)?2x?12x，f'(x)?6x?12?6(x?2)(x?2)，列表如下：
x (??,?2) ? ?2 (?2,2) 2 (2,??) ? f'(x) f(x) 0 极大 ? ] 0 极小 Z Z 所以函数f(x)的单调增区间是(??,?2)和(2,??) （3）∵f(?1)?10，f(2)??82，f(3)?18
∴f(x)在[?1,3]上的最大值是f(3)?18，最小值是f(2)??82．
例3．已知函数f(x)?13ax?bx2?(2?b)x?1在x?x1处取得极大值，在x?x2处取得极小值，且30?x1?1?x2?2．（1）证明: a?0；（2）求z=a+2b的取值范围。
解：求函数f(x)的导数f?(x)?ax?2bx?2?b．
（1）由函数f(x)在x?x1处取得极大值，在x?x2处取得极小值，知x1，x2是f?(x)?0的两个根．所以
2f?(x)?a(x?x1)(x?x2) 当x?x1时，f(x)为增函数，f?(x)?0，由x?x1?0，x?x2?0得a?0．
?f?(0)?0?2?b?0??（2）在题设下，0?x1?1?x2?2等价于?f?(1)?0 即?a?2b?2?b?0．
?f?(2)?0?4a?4b?2?b?0???2?b?0?化简得?a?3b?2?0．此不等式组表示的区域为平面aOb上三条直线：
?4a?5b?2?0?2?b?0，a?3b?2?0，4a?5b?2?0所围成的△ABC的内部，其三个顶点分别为：
?46?A?，?，B(2，，2)C(4，2)． ?77?z在这三点的值依次为
所以z的取值范围为?
例4．设函数f(x)??x(x?a)（x?R），其中a?R． （1）当a?1时，求曲线y?f(x)在点(2，f(2))处的切线方程； （2）当a?0时，求函数f(x)的极大值和极小值。
解：（1）当a?1时，f(x)??x(x?1)??x?2x?x，得f(2)??2，且f?(x)??3x?4x?1，
23222 b 16，6，8． 72 1 O B(2，2) C(4，2) ?46?A?，? ?77??16?，8?． ?7?2 4 a f?(2)??5．所以，曲线y??x(x?1)2在点(2，?2)处的切线方程是y?2??5(x?2)，整理得5x?y?8?0．
232222（2）f(x)??x(x?a)??x?2ax?ax，f?(x)??3x?4ax?a??(3x?a)(x?a)．
令f?(x)?0，解得x?a或x?a．由于a?0，以下分两种情况讨论． 3若a?0，当x变化时，f?(x)的正负如下表：
x a???∞，?? 3??a 3?a?，a?? ?3?? a (a，∞?) f?(x) ? 0 0 ?
因此，函数f(x)在x?a处取得极小值3?a?f??，且?3?4?a?f????a3；
27?3?函数f(x)在x?a处取得极大值f(a)，且f(a)?0．
若a?0，当x变化时，f?(x)的正负如下表：
x ??∞，a? ? a ?a??a，? ?3?? a 3?a?，?∞?? 3??f?(x) 0 0 ? 因此，函数f(x)在x?a处取得极小值f(a)，且f(a)?0；
函数f(x)在x?
a处取得极大值3?a?f??，且?3?4?a?f????a3．
27?3?例5．用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？ 解：设长方体的宽为x（m），则长为2x(m)，高为h?22318?12x3???4.5?3x(m)?0＜x＜?. 42??3故长方体的体积为V(x)?2x(4.5?3x)?9x?6x(m)(0＜x＜). 从而V?(x)?18x?18x2(4.5?3x)?18x(1?x).
令V′（x）＝0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1. 当0＜x＜1时，V′（x）＞0；当1＜x＜
322时，V′（x）＜0， 3故在x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值。
从而最大体积V＝V′（x）＝9×12-6×13（m3），此时长方体的长为2 m，高为1.5 m. 答：当长方体的长为2 m时，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3 m3。
例6．设函数f(x)?tx?2tx?t?1(x?R，t?0)．
222)恒成立，求实数m的取值范围． （1）求f(x)的最小值h(t)；（2）若h(t)??2t?m对t?(0，解：（1）Qf(x)?t(x?t)?t?t?1(x?R，t?0)，
23?当x??t时，f(x)取最小值f(?t)??t3?t?1，即h(t)??t3?t?1．
（2）令g(t)?h(t)?(?2t?m)??t?3t?1?m，
3由g?(t)??3t?3?0得t?1，t??1（不合题意，舍去）． 当t变化时g?(t)，g(t)的变化情况如下表：
2t g?(t) g(t) ?g(t)在(0，2)内有最大值g(1)?1?m．
(0，1) ? 递增 1 0 极大值(1，2) ? 递减 1?m h(t)??2t?m在(0，2)内恒成立等价于g(t)?0在(0，2)内恒成立，即等价于1?m?0，
所以m的取值范围为m?1．
例7．某商品每件成本9元，售价为30元，每星期卖出432件. 如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x（单位：元，0≤x≤30）的平方成正比.已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．
（1）将一个星期的商品销售利润表示成x的函数； （2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？
解：（1）设商品降价x元，则多卖的商品数为kx，若记商品在一个星期的获利为f(x)，
则依题意有f(x)?(30?x?9)(432?kx)?(21?x)(432?kx)，
222·2，于是有k?6， 又由已知条件，24?k30]． 所以f(x)??6x?126x?432x?9072，x?[0，（2）根据（1），我们有f?(x)??18x?252x?432??18(x?2)(x?12)．
2322x 2? ?0，? ] 2 0 极小 (2，12) ? 12 0 极大 30? ?12，? ] f?(x) f(x) 故x?12时，f(x)达到极大值．
Z 因为f(0)?9072，f(12)?11264，所以定价为30?12?18元能使一个星期的商品销售利润最大．
（完整word版）高考数学导数专题讲座
