利用最小二乘法求解拟合曲线

实验三函数逼近

一、 实验目标

1.掌握数据多项式拟合的最小二乘法。 2.会求函数的插值三角多项式。

二、实验问题

（1）由实验得到下列数据 试对这组数据进行曲线拟合。 （2）求函数f?x??x2cosx在区间[??,?]上的插值三角多项式。

三、 实验要求

1.利用最小二乘法求问题（1）所给数据的3次、4次拟合多项式，画出拟合曲线。

2.求函数f?x??x2cosx在区间[??,?]上的16次插值三角多项式，并画出插值多项式的图形，与f?x?的图形比较。

3.对函数f?x??x2cosx，在区间[??,?]上的取若干点，将函数值作为数据进行适当次数的最小二乘多项式拟合，并计算误差，与上题中的16次插值三角多项式的结果进行比较。

《数值分析》实验报告

【实验课题】利用最小二乘法求上述问题所给数据的2次，3次、4次拟合多项式，画出拟合曲线 【实验目标】

（1）加深对用最小二乘法求拟合多项式的理解

（2）学会编写最小二乘法的数值计算的程序；

【理论概述与算法描述】

在函数的最佳平方逼近中f(x)?C[a,b],如果f(x)只在一组离散点集{xi,i?0,1,???,m}上给出，这就是科学实验中经常见到的实验数据{(xi,yi),i?0,1,???,m}的曲线拟合，这里

yi?f(xi),i?0,1,???,m，要求一个函数y?S*(x)与所给数据{(xi,yi),i?0,1,???,m}拟合，若

记误差?i?S*(xi)?yi(i?0,1,???,m),????0,?1,???,?m?,设?0(x),?1(x),???,?n(x)是C[a,b]上的线性无关函数族，在??span{?0(x),?1(x),???,?n(x)}中找一个函数S*(x)，使误差平方和

T||?||?????[S(xi)?yi]?min?[S(xi)?yi]

222i*i?0i?0S(x)??i?0mm2m2这里

这就是一般的最小二乘逼近，用几何语言说，就称为曲线拟合的最小二乘法。 通常在最小二乘法中考虑加权平方和有

(?j,?k)???(xi)?j(x)?k(x)，

i?0m上式可改写为

?(?,?)akjj?0mj?dk,k?0,1,???,n。

这个线性方程组称为法方程，可将其写成矩阵形式 其中a?(a0,a1,???,an)T,d?(d0,d1,???,dn)T 求出a0,a1,???,an

则拟合函数S*(x)?a0?a1x?a2x2?????anxn a=inv(G)*d

【实验问题】

由实验得到下列数据 试对这组数据进行曲线拟合。 利用最小二乘法求所给数据的2次、3次、4次拟合多项式，画出拟合曲线。

【实验过程与结果】 【结果分析、讨论与结论】

(1)n=2时 x=[' y=[' n=2

p=leastsq(x,y,n) I=lsp(p,t) 回车得到结果

p=

所以拟合多项式为I=t*((18733*t)/5982-74179/59820)+73337/99700 (2)n=3时

x=[' y=[' n=3

Apleastsq(x,y,n) I=lsp(p,t) 回车得到结果

所以拟合多项式为I= +

t^2+^3; (3)n=4时

x=[' y=[' n=4

p=leastsg(x,y,n) I=lsq(p,t) 回车得到结果

A=

附程序

x=[' y=[' symst n=2

p=leastsq(x,y,n) c=lsp(p,t) plot(x,y,'*') 2.

functionp=leastsq(x,y,n) m=length(x);

G=zeros(n+1,n+1);

b=zeros(n+1,1); fori=0:n forj=0:n

G(i+1,j+1)=(x.^i)'*(x.^j); end end

fork=0:n

b(k+1,1)=(x.^k)'*y; end

p=inv(G)*b; 3.

functionI=lsp(p,t) m=length(p)-1; I=p(m+1); forj=m:-1:1 I=I.*t+p(j); end