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范 文
2021年第29届全国中学生物理竞赛复赛试卷及答
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案(精华版)
2021 年第 29 届全国中学生物理竞赛复赛试卷及答 案（精华版） 本卷共 8 题，满分 160 分。
一、（17 分）设有一湖水足够深的咸水湖，湖面宽阔而平静，初始时将一体积 很小的匀质正立方体物块在湖面上由静止开始释放，释放时物块的下底面和湖水 表面恰好相接触。
已知湖水密度为 ；物块边长为b ，密度为 ' ，且 ' 。 在只 考虑物块受重力和液体浮力作用的情况下，求物块从初始位置出发往返一次所需 的时间。
二、（23 分）设想在地球赤道平面内有一垂直于地 面延伸到太空的轻质电梯，电梯顶端可超过地球的同 步卫星高度 R （从地心算起）延伸到太空深处。
这种 所谓的太空电梯可用于低成本地发射绕地人造卫星， 其发射方法是将卫星通过太空电梯匀速地提升到某高 度，然后启动推进装置将卫星从太空电梯发射出去。
1、设在某次发射时，卫星在太空电梯中极其缓慢地匀速上升，该卫星在上升到 0.80 R 处意外地和太空电梯脱离（脱离时卫星相对于太空电梯上脱离处的速度可 视为零）而进入太空。 （1）论证卫星脱落后不会撞击地面。
（2）如果卫星脱落后能再次和太空电梯相遇，即可在它们相遇时回收该卫星。
讨论该卫星从脱落时刻起，在 0~12 小时及 12~24 小时两个时间
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段内被太空该电 梯回收的可能性。
2、如果太空电梯地点位于东经 110 度处，在太空电梯上离地心距离为 RX 处有一 卫星从电梯脱落（脱落时卫星相对于太空电梯上脱落处的速度可视为零），脱落 后该卫星轨道刚好能和赤道某处相切，而使卫星在该点着地，试求卫星着地点的 经度。 提示：此问要用数值方法求解高次方程。
已 知 ： 地 球 质 量 M 6.010 24 kg ， 半 径 Re 6.4 106 m 的 球 体 ； 引 力 恒 量 G 6.7 1011 N m2 kg2 ；地球自转周期Te 24 小时；假设卫星与太空电梯脱落后只受地 球引力作用。 三、（25 分）如图所示，两根刚性轻杆 AB 和 BC 在 B 段 牢固粘接在一起，AB 延长线与 BC 的夹角 为锐角，杆 BC 长
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为 l ，杆 AB 长为 l cos 。
在杆的 A 、 B 和 C 三点各固连一质量均为 m 的小球，构 成一刚性系统。
整个系统放在光滑水平桌面上，桌面上有一固定的光滑竖直挡板， 杆 AB 延长线与挡板垂直。
现使该系统以大小为 v0 、方向沿 AB 的速度向挡板平动。 在某时刻，小球 C 与挡板碰撞，碰撞结束时球 C 在垂直于挡板方向的分速度为零， 且球 C 与挡板不粘连。
若使球 C 碰撞后，球 B 先于球 A 与挡板相碰，求夹角 应 满足的条件。
四、（21 分）如图所示，虚线小方框是由 2n 个电 容器联成的有限网络；虚线大方框是并联的两个相同 的无限网络，此无限网络的结构是：从左到中间，每 个电容器的右极板与两个电容器的左极板相连，直至 无穷；从中间到右，每两个电容器的右极板与一个电 容器的左极板相连，直至联接到一个电容器为止。
网 络中的所有电容器都是完全相同的平行板真空电容器，其极板面积为 S ，极板间 距为 d （ d S ）。
整个电容网络体系与一内电阻可忽略不计的电池连接，电池 电动势恒定、大小为 。
忽略电容器的边缘效应，静电力常量k 已知。
1、若将虚线小方框中标有a 的电容器的右极板缓慢地向右拉动，使其两极板的距 离变为 2d ，求在拉动极板过程中电池所做的功和
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外力所做的功。
2、在电容器a 两极板的距离变为 2d 后，再将一块与电容器a 的极板形状相同、面 积也为 S 、带电荷量为 Q （ Q 0 ）的金属薄板沿平行于a 的极板方向全部插入到 电容器a 中，使金属薄板距电容器a 左极板的距离为 x 。
求此时电容器a 的左极板所 带的电荷量。
五、（25 分）如图所示，两个半径不等的用细金属导线做 成的同心圆环固定在水平的桌面上。
大圆环半径为 R1 ，小圆 环表面绝缘半径为 R2（ R2 R1），两圆环导线每单位长度电阻 均为 r0 ，它们处于匀强磁场中，磁感应强度大小为 B ，方向 竖直向下，一每单位长度电阻为 r1 的长直金属细杆放在大圆环 平面上，并从距圆环中心左侧为 R1 /100（> R2 ）的 ab 位置，以 速度v 匀速向右沿水平面滑动到相对于大圆环中心与 ab 对称 的位置 cd，滑动过程中金属杆始终与大圆环保持密接。
假设 金属杆和大圆环的电流在小圆环处产生的磁场均可视为匀强磁场。
试求在上述滑 动过程中通过小圆环导线横截面的电荷量。 提示：当半径为 R ，长度为 l 的一段圆弧导线通有电流 I 时，圆弧电流在圆心处产
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2021年第29届全国中学生物理竞赛复赛试卷及答案(精华版)
