第一节力矩和角动量
【知识要点】 一、力矩的定义 1.对轴的力矩
对轴的力矩可推动物体绕轴转动或改变物体绕轴转动的角速度.力矩的大小不仅与力的大小和方向有关，而且与力的作用点有关.当力的作用线在垂直于轴的平面（π）
上时（图5-1-1),力矩τ的大小与力的作用点P和轴的距离ρ成正比，与力在垂直于ρ
方向上的分量Fφ成正比，因为力在ρ方向上的分量Fρ对物体的绕轴转动无作用，于是有 τ=ρFφ=Fρsinθ （5. 1-1)
式中θ是F与ρ的夹角，ρ就是从轴与平面π的交点O'指向P点的矢量，由于在力矩作 用下引起的转动有两个可能的方向，力矩也有正、负两种取向.例如，先任意规定轴的正方向，当逆着轴的正方向去看力矩作用下所引起的物体的转动时，若物体沿逆时针方向转动，对应的力矩就取为正，反之为负.由于ρsinθ=d就是力的作用线与轴的距离，（5. 1-1)式又可写成 τ = Fd （5. 1-1a) d常称为力臂，这正是大家所熟知的力矩表达式. 当力的作用线不在垂直于轴的平面(π)上时，可将力F分解为平行于轴的分量F∥和垂直于轴的分量F⊥两部分，其中F//对物体绕轴转动不起作用，而F⊥就是在垂直于轴的平面（π）上的投影，故这时F对轴的力矩可写成 τ=ρF⊥sinθ （5. 1-1b) 这里的θ是F⊥与ρ的夹角（图5-1-2). 2.对参考点的力矩 可将上述对轴的力矩的概念推广到对点的力矩.在选定的参照系中，从参考点0 指向力的作用点P的矢量r与作用力F的矢积称为作用力对于参考点0的力矩，即 Τ=r×F (5-1-2) r也可称为作用点相对参考点的位矢.当参考点是坐标原点时，r就是力的作用点的位矢.根据矢积的意义，力矩的大小等于以r和F两矢量为邻边所构成的平行四边形的面积，方向与r、F所在平面垂直并与r、F成右手螺旋。
二、作用于质点的力矩和作用于质点系的力矩 1.作用于质点的力矩
当质点m受力F作用时，F对参考点〇的力矩即为质点受到的力矩，这时力矩表达式(5.1-2)中的r就是参考点指质点的矢量，当参考点为坐标原点时，r就是质点的位矢.当质点受F1、F2、…、FN
N个力同时作用时，诸力对某参考点的力矩的矢量和等 于合力F=F1+F2+…+FN对同一参考点的力矩，即
r×F1+r×F2+…+r×FN=r×(F1+F2+…+FN)=r×F （5. 1-3)
2. 作用于质点系的力矩
力矩概念也可应用于作用于质点系上的作用力.一般讲来，质点系内各质点受到的作用力有外力和内力的区别，因此应分别考察外力的力矩和内力的力矩 (1)外力的力矩
当质点系受多个外力作用时，若第i个质点受到的合外力为Fi，该质点相对某一给定参考点的位矢为ri，则其力矩为τi外= ri×Fi，各质点所受力矩的矢量和，即质点系所受的总力矩为
?外???i外??ri?Fi （5.1-4）
ii由于各外力作用在不同质点上，各质
点的位矢ri各不相同，因而外力对质点系的总力矩一般不能通过外力矢量和的力矩来计算. 但当质点系处在重力场中时，各质点所受重力与质点的质量成正比，方向又都相同，因而作用于质点系的重力相对某一参考点的力矩，根据(5.1-4)式为 ?重力??ri?mig?（?miri）?g?rC?Mg （5. 1-5) ii即作用于质点系的重力相对某参考点的力矩等于重力的矢量和作用于质心上时对该参 考点的力矩.在平动非惯性系中的惯性力显然也具有这种性质. (2)内力的力矩 若fi为作用于质点系中第i个质点上的合内力，ri为该质点的位矢，则内力的总力矩为 由于内力总是成对出现，因而上式可写成?内??(ri?fji?rj?fij) i?j根据牛顿第三定律（强形式），任一对内力fji和fij必定等值反向，且沿同一直线，因而对任一给定参考点O来说，力矩也必等值反向，两者相互抵消，即 因而内力的总力矩为零 ?内??(ri?fji?rj?fij)?0 （5. 1-6) i?j这一结果与内力的冲量相似，但与内力的功不同. 三、 冲量矩 在明确了力矩的概念以后，可引出冲量矩的概念. ?L???t?（?外??内）?t?（?外?0）?t??外?t （5. 1-7) 此式对质点系适用.
若对质点只需把?外改为?即可.
在一段时间内质点或质点系所受的冲量矩为这段时间内冲量矩的累加：
?L总???L???外?t （5. 1-8) 。 ?L总为矢量，方向与?外相同，单位是Ｎ?ｍ?ｓ四、
质点的角动量
质点的运动状态可以用动量P=mv描写，它包含了运动的大小和方向的所有特征.当我们以某定点为参考点来考察质点的运动时，相对参考点而言，除质点的动量外，质点的距离在变化，质点的方位也在变化，前者可用质点相对参考点的位矢的大小变化来表征，后者则可用位矢的方向变化来表征，而位矢方向的变化又可与位矢扫过的角度随时间的变化，即角速度相联系，而角速度不仅有大小，还有方向（以所绕的轴线及顺、逆时针为特征）。为了描写质点相对某一参考点的运动，可仿照力矩的定义引人动量矩的概念.从给定参考点指向质点的矢量r和质点动量P=mv的矢积称为质点对于参考点的动量矩，用l表示：l=r×P (5.1-9) 动量矩又称角动量。
角动量是矢量，它是r和p的矢积，因而既垂直于r，又垂直于P；即垂直于r与P所组成的平面，其指向由右手定则决定（图5-1-3). 质点的角动量是相对给定的参考点定义的，因此，同一质点对不同参考点的角动量是不同的。例如，一圆锥摆的摆球以恒定的角速度ω作圆周运动，圆周的半径为R，摆的悬线长为r（图5-1-4)，摆球对圆心O的角动量丨l丨=mvR== mωR2，其大小和方向都恒 定不变.但摆球对悬挂点O'的角动量l'则不同，尽管其大小丨l’丨=mvr== mωRr保持不 变，但方向却随时间而变. 作直线运动的质点，对于不在该直
线上的不同参考点的角动量也不相
同.
通常把考察转动的参考点取为坐标原点，这样，（5.1-9)式中的r就是质点的位矢。 角动量的单位是kg?m2/s 【例题分析】 例1
如图5-1-5所示，质量为m的小球自由落下，某时刻具有速度v，此时小球与图中的A、B、
C三点恰好位于某长方形的四个顶点，且小球与A、C点的距离分别为l1、l2，试求：
⑴小球所受重力相对A、B、C三点的力矩M1、M2、M3； (2)小球相对A、B、C三点的角动量L1、L2、L3.
解（1)小球所受重力mg竖直朝下，以A为参考点的小球位矢l1水平向右，mg与l1两者夹角φ =90°，可得
M1大小：M1=l1mgsin900=l1mg
M1方向：垂直图平面朝内
以B为参考点，小球的位矢r是从B指向小球所在位置，力臂长h即为B到C的距离l1，因此有 M2的大小：M2=l1mg
M2方向：垂直图平面朝内
以C为参考点，小球的位矢恰与mg反向，即有180。，因此得 M3=0
(2)小球动量P =mv竖直向下，与(1)问解答类似地可得 L1的大小：L1=l1mvsin900=l1mv L1的方向：垂直图平面朝内 L2的大小：L2=l1mv L2的方向：垂直图平面朝内 L3=0 第二节质点和质点组的角动量 〖知识要点】 一、质点角动量定理 我们知道，质点动量的变化等于外力的冲量，质点的角动量如何随外力变化呢？这也不难从牛顿运动定律得到.若质点对某一给定参考点的角动量l=r×mv=r×P，则其时间变化率为 若此给定参考点相对参照系是静止的，则r??l?(r?P)?r?P ???P?r??t?t?t?t?r?P?r?v，?P?v?P?v?mv?0，而?F，
?t?t?t?P?r?F.但力的作用点相对参考点的位矢和力的矢积即为对参考点的力矩?，?t?l （5.2-1） ?t于是上式又可写为 ??即质点对任一固定点的角动量的时间变化率等于外力对改点的力矩，这就是质点角动量定理。根据第一节（5.1-8）式，得 力矩对时间的累加，????t就是冲量矩。上式表示质点角
动量的增量等于外力的冲量
矩，这就是质点角动量定理的另一形式.两种形式的角动量定理，都可写成分量形式.
由于r?v在数值上等于以r和v为邻边的平行四边形的
面积，也就是矢径r在单位时间内所扫过的面积（面积速度）的两倍，所以角动量l?r?mv与面积速度成正比，为面积速度的2m 倍(图 5-2-1). 例2
质量为m，长l的匀质细杆，绕着过杆的端点且与杆垂直的轴以角速度ω转动时，它的动能和相对端点的角动量大小分别为
Ek?112I?，L?I? 其中 I?ml2
32今如图5-1
-6所示，将此杆从水平位置静止释放，设此杆能绕着过A的固定光滑水平细轴无摩擦地摆下，当摆角从零达θ时，试求：（i）细杆转动角速度ω和角加速度β;(2)固定的光滑细轴为杆提供的支持力N。 解（1)因无摩擦，机械能守，有 13gsin?将I?ml2代入后，可得 ?? 3l以A为坐标原点建立垂直于图平面朝内的z轴，细杆各部位相对A点角动量均沿 z轴方向，叠加后所得细杆的总角动量L也必沿z轴方向，大小则为L?I? 固定的光滑细轴为细杆提供的支持力N相对A点力矩为零，细杆重力相对A点力矩为
lM的大小：M?mgcos? 2方向：沿z轴 由刚体定轴转动时的角动量变化量与冲量矩相同，得到M?t??L 因为 所以 ?L???I()?I? ?t?t ??3gcos? 2l(2)如图5-1-7所示，将N分解为Nn和N?，支持力与重力合成为细杆质心提供加速度，可建立下述方程
其中aCn和aC?分别为质心作圆周运动的向M心和切向加速度.所以
可得Nn?51mgsin?，N??mgcos? 24例3质量为M,半径为R的匀质圆盘，绕着过圆心且与圆盘垂直的轴以角速度ω旋转时的角动量大小为L?I?，I?1MR2 2有如图5-1-8所示系统，细绳质量可略.细绳与圆盘间无相对滑动，定滑轮与中央轴之间光滑接触，有关参量已在图中标出，m1>m2，试求a. .
解
以转轴上某点为参考点，定滑轮转动角动量方向沿转轴朝外，大小为 设左、右绳中张力分别为T1，T2.它们相对转轴力矩之和，方向沿轴朝外，大小为 又因为 对m1，m2有方程 , m2 有方程 a与β的关系为 a=βR: 2(m1?m2)可解得a?g 2(m1?m2)?M二、质点系角动量定理 质点系对给定点的角动量等于各质点对该点角动量的矢量和 L??li??ri?Pi??ri?mivi (5.2-3) iii若计算角动量的给定点相对惯性系固定不动，则可以（5.2-1)式代人，得 式中Fi表示第i个质点受到的来自体系以外的力，fi表示该质点受到的来自体系内部的力。但由第一节的讨论，内力对体系的总力矩为零，即??内??ri?fi?0，于是上式变为
ii?L??ri?Fi???i外??外 ?tii即?外??L (5.2-4) ?t（5.2-4）式告诉我们，质点系对给定点的角动量的时间变化率等于作用在体系上所有外 力对该点力矩之和，这就是体系角动量定理。对(5.2-4)式累加，可得体系角动量定理的 另一形式：L?L0???外??t
（5.2-5)
式中??外??t为外力的总冲量矩，（5.2-5)式说明，体系对给定点角动量的增量等于外力对该点的总冲量矩，
(5.2-4)、(5.2-5)式也可写成分量形式.
质点系角动量定理指出，只有外力矩才对体系的角动量变化有贡献.内力矩对体系角动量变化无贡献，但对角动量在体系内的分配是有作用的. 第三节角动量守恒定律 $【知识要点】
一、质点角动量守恒
当?=0时，l =常矢量 (5.3-1)
即当外力对固定参考点（简称定点）的力矩为零时，质点对该点的角动量守恒.此即质点角动量守恒定律.外力矩为零有两种情况： l.F =
0,即无外力，质点作匀速直线运动，它对定点的角动量显然为常量，因为它的面积速度为常量（图 5-3-1), 2.力F通过定点0,这样的力称为有心力.十分重要，其意义可由图5-3-2看出.在有心力作用下，其面积速度不变，即有 ?OAB??OAC
由于角动量是矢量，当外力对定点的力矩虽不为零，但其某一分量为零时，则角动 量的该分量守恒： 若 ?x?0，则lx=常量 若 ?y?0，则ly=常量 若 ?z?0，则lz=常量 (5.3-2) 关于质点角动量定理，有两点值得强调一下
1. 质点角动量定理系由牛顿定律导出，因而它仅适用于惯性系.
2. 在质点角动量定理中，描写质点角动量的参考点必须固定在惯性系中.因为，如果参考点运动，r是从该动参考点指向质点的矢量，于是
?r?r?v，?P?0，就得不到?t?t（5.2-1)式.至于参考点是否坐标原点，则无关紧要.
二、质点系角动量守恒
当外力对定点的力矩之和为零，即 则 L=常矢量
即质点系对该定点的角动量守恒，此即质点系角动量守恒定律.
下面给出?外?0的三种不同情况：
1. 体系不受外力，Fi=0(孤立体系），显然有?外???i外?0。
i但是一般讲来，当质点系受外力作用时，即使外力的矢量和为零，外力矩的矢量和未必为零，力偶就是这种情况. 2. 所有的外力通过定点，这时体系所受外力的矢量和未必为零，但每个外力的力矩皆为零.
3.每个外力的力矩不为零，但外力矩的矢量和为零.例如，对重力场中的质点系，作用于各质点的重力对质心的力矩不为零，但所有重力对质心的力矩的矢量和却为零. 另外，由于角动量守恒的表式是矢量式，它有三个分量，各分量可以分别守恒 若 ?x?0，则Lx=常量 若 ?y?0，则Ly=常量 若 ?z?0，则Lz=常量 (5.3-4) 例3
—质量为m的物体拴在穿过小孔的轻绳的一端，在光滑的水平台面以角速度ω0作半径为r0的圆周运动，自t=0时刻开始，手拉着绳的另一端以匀速v向下运动，使半径逐渐减小.试求：（1）角速度与时间关系?(t); (2)绳中的张力与时间关系. 解：（1）物体m在水平方向仅受绳子拉力作用，它相对小孔的角动量守恒。当质点与小孔的距离为r时，设其角速度为ω，则有 2 mvr?mv0r0 或 m?r2?m?0r0 r所以 ??02?0 r按题意，r?r0?vt，代入上式得 (2)根据牛顿运动定律 由于vr?v 是常量，所以
?vrr??0，F?mr?2?m003 ?t(r0?vt)422第四节综合训练
【例题分析】
例2两个质量为m的小球，用长为l的绳子连结起来，放在一光滑的水平桌面上.给其中一个小球以垂直于绳子方向的速度v0， 如图5-4-2所示.求此系统的运动规律和绳中的张力大小. 解 对整个系统来说，在水平方向不受外力作用，故系统在水平方向动量守恒。按质心运动规律，有
式中 vc为质心的速度，由此得
1方向与v0相同，所以系统的质心以v0的速度作匀速直线运动-
2由于整个系统对质心没有外力矩作用，故系统对质心的角动量守恒，即 式中ω为两小球对质心的角速度，于是??绳中的张力 例3 小滑块A位于光滑的水平桌面上，小滑块B位于桌面上的光滑小槽中，两滑块的质量都是m,并用长为l、不可伸长的、无弹性的轻绳相连，如图5-4-3(a)所示.开始时A、B间的距离为l，A、B间的连线与小槽垂直，如图5-4-3(a)所示.今给滑块A一冲2v0，即两小球绕质心作匀速圆周运动，同时 l击，使其获得平行于槽的速度v0，求滑块B开始运动时的速度。 解 设绳拉紧的瞬时，滑块A的速度为vA，滑块B的速度为vB.在绳拉紧时，滑块A相对于滑块B的运动是以B为中心的圆周运动，其相对运动速度设为v'，与绳垂直, 如图5-4-3(b)所示，因而，此时滑块A的速度取坐标系如图5-4-3(b)，则有 vAx?vx'?v'sin? ① vAy?vy'?vB?v'cos??vB ② 由图中的几何关系知 ??600 ③ 滑块在运动过程中，在y方向系统不受外力，动量守恒 mv0?mvy?mvB ④ 滑块A对滑块B原所在的位置的角动量守恒： mv0l?mvAxlsin??mvAylcos? ⑤ 23v0 7联立以上五式解得 vB?例4如图5-4-4所示，质量为m的两小球系于轻弹簧的两端，并置于光滑水平桌面上，当弹簧处于自然状态时，长为a，其倔强系数为k，
今两球同时受冲力作用，各获得与连线垂直的等值反向的初速度，若在以后运动过程中弹簧的最大长度b =2a,求两球的初速度v0。
解 以初始时刻两球连线中点0为定点来考察，体系的角动量守恒。弹簧达到最大伸长时，小球无径向速度。
mv0aabb?mv0?mv?mv ① 2222体系机械能也守恒
1111122mv0?mv0?mv2?mv2?k(b?a)2 ② 22222由①，②式消去v，即得
2ka以b=2a代入，得 3m例5 在半顶角为α的圆锥面内壁离锥顶h高处以一
定初速度沿内壁水平射出一质量为m的小球，设锥面内壁是光滑的.（1)为使小球在h高度的水平面上做匀速圆周运动，则初速v0为多少？（2)若初速v1=2v0，求小球在运动过程中的最大高度和最小高度。 解（1)物体在重力mg和锥壁支撑力N作用下做圆周运动.因有 v0?mgv2?m ① tan?RR是圆周半径.以R = htanα代人上式，得 (2)当初速大于v0时，小球不可能维持在原来水平面上做圆周运动，因为这样不满足①式.
小球必上升；但又不可能停留在某一个高一些的水平面上做匀速圆周运动，这样小球必在一定的上、下高度间往返地做类似螺旋状的运动.为求这两极限高度，我们 来寻找小球运动的守恒量，首先，机械能守恒，因为小球在重力场中运动，支撑力N不做功；其次，小球在做转动，如果还有守恒量，另一个守恒量必然是角动量或其分量.不 难发现，由于外力N和mg都在过z轴的平面内，故外力矩无z方向分量，即?z?0,因而Lz为常量.用h+x表示极限高度，注意到在极限高度上，小球速度必沿水平方向.于 是可列出以下两个守恒方程： 112能量守恒： mv2?mg(h?x)?mv1?mgh ② 22角动量分量守恒: mv(h?x)tan??mv1tan? ③ 由②，③式可得x的三次方程 2gx3?(4gh?v1)x2?2h(v1?gh)?0 ④ 22由④式可见，x=0必为一个解.这是合理的，因为射出速度沿水平方向，该高度必为一极值.消去x后，得x的二次方程： 解之得 8、
如图5-2-6所示，在光滑水平面上，质量均为M的两小球由一长为l的轻杆相连.另一质量为m的小球以v0的速率向着与杆成θ角的方向运动，并与某一M发生碰撞，碰后m以v0的速率沿原路线反弹.试求碰撞后轻杆系统绕其质心转动的角速度ω. 解 系统水平方向动量守恒： 机械能守恒：
系统绕轻杆系统质心的角动量守恒 其中 vf?解之得 ??9、
若上题中三球的质量相同，均为m，且θ=450。.当运动小球以v0的速率与连在杆上的某一球发生弹性碰撞后，即沿垂直于原速度的方向运动，如图5-2-6所示。试求：（1） 碰撞后，运动小球的速度vf； (2)碰撞后，轻杆系统绕其质心转动的角速度ω. 解 系统水平方向动量守恒 mv0?2mvc// （1） mvf?2mvc? （2） 机械能守恒： 1v0 23mv0sin?
2Ml1111l2222mv0?mvf?2m(vc??vc//)?2m(?)2 （3） 22222系统绕轻杆系统质心的角动量守恒 lllmv0sin450?mvfcos450?m?()2?2 （4） 222v1?2232?2v0v0?0.55v0,????0.320 77ll10、如图5-2-7所示，在水平的光滑桌面上开有一小 由（1）（2）（3）（4）vf?孔，一条绳穿过小孔，其两端各系一质量为m的物体.开始时，用手握住下面的物体，桌上的物体则以v0?32gr0的速率作半径为r。（即桌上部分的绳长）的匀速圆周运动，然后2放手.求以后的运动中桌上部分绳索的最大长度和最小长度.
解 桌面上物体受有心力作用，角动量守恒：
mv0r0?mv1r1?mv2r2 （1）
其中，r1、r2分别对应桌上部分绳索的最大长度和最小长度。 机械能守恒：
111222mv0?mg(l?r0)?mv1?mg(l?r1)?mv2?mg(l?r2) （2） 222由（1）（2）得 r1?3r0，r2?r0
物理竞赛角动量
