求函数的定义域与值域的常用方法
引入：
自变量x的取值范围为 定义域 因变量y的取值范围为 值域
求函数的解析式、求函数的定义域、求函数的值域、求函数的最值
一、 求函数的解析式
（一）解析式的表达形式 （解析式的表达形式有一般式、分段式、复合式等。）
1、一般式 （是大部分函数的表达形式）
例：一次函数：y?kx?b(k?0) 二次函数：y?ax?bx?c (a?0)
反比例函数：y? 2、复合式
若y是u的函数，u又是x的函数，即y?f(u),u?g(x),x?(a,b)，那么y关于x的函数y?f?g(x)?,x??a,b?叫做f和g的复合函数。
2k (k?0)正比例函数：y?kx (k?0) xg?f(x)?? 。例1、已知f(x)?2x?1,g(x)?x?3，则f?g(x)?? ，
2解：f?g(x)??2g(x)?1?2(x?3)?1?2x?7
2222 g?f(x)???f(x)??3?(2x?1)?3?4x?4x?4
2
（二）解析式的求法 （根据已知条件求函数的解析式，常用配凑法、换元法、待定系数法、赋值（式）法、方程法等。）
1. 配凑法
例1.已知 ：f(x?1)?x?3x?2，求f(x)； 解：因为f(x?1)?x?3x?2?(x?1)?5x?1 ?(x?1)?5(x?1)?6，所以f(x)?x?5x?6
22222 例2、已知：f(x?11)?x2?2，求f(x)。 xx解： f(x?111)?x2?2?(x?)2?2 xxx2∴ f(x)?x?2(x?2或x??2)
注意：使用配凑法也要注意自变量的范围限制。
2.换元法
例1.已知：f(x?1)?x?2x，求f(x);
2解：令x?1?t,则t?1,即x?(t?1)
则f(t)?(t?1)?2(t?1)?t?1 所以f(x)?x?1(x?1)
222 例2、已知：f(1?11)?2?1，求f(x)。 xx解：设t?1?11，则t?1，x?，代入已知得 xt?1 f(t)?1?1???t?1??2?1?(t?1)2?1?t2?2t
∴ f(x)?x?2x2(x?1)
注意：1、使用换元法要注意t的范围限制，这是一个极易忽略的地方。
2、换元法和配凑法在解题时可以通用，若一题能用换元法求解析式，则也能用配凑法求解析式。
3.待定系数法
例1.已知：f(x) 是二次函数，且f(2)=-3, f(-2)=-7, f(0)=-3，求f(x)。 解（1）设f(x)?ax?bx?c,(a?0)则 ∵f(2)??3,f(?2)??7,f(0)??3
21?a????4a?2b?c??32?? ∴?4a?2b?c??7 解理?b?1
?c??3?c??3??? ∴f(x)??
4.赋值（式）法
例1、已知函数f(x)对于一切实数x,y都有f(x?y)?f(y)?(x?2y?1)x成立，且f(1)?0。
(1)求f(0)的值； (2)求f(x)的解析式。
解：（1） 取x?1,y?0，则有 f(1?0)?f(0)?(1?0?1)1
12x?x?3 2?f(0)?f(1)?2?0?2??2
（2）取y?0，则有f(x?0)?f(0)?(x?0?1)x. 整理得：f(x)?x?x?2
5、方程法
2例1、已知：2f(x)?f???3x,?1??x?(x?0)，求f(x)。
解：已知：2f(x)?f???3x,?1??x?①
用
131去代换①中的x得 :2f()?f(x)? ②
xxx1x(x?0).
由①×2－②得：f(x)?2x?同步练习
1.已知f(x?1)?3?x，求f(x)的解析式。
2.已知f(x)?2f()?3x，求f(x)的解析式。
3、已知：f(2x?1)?x?2x 求f(x)
4、f(x) 为一次函数，则f(x)的解析式为（ ） 2f(2)?3f(1)?5,2f(0)?f(?1)?1，
21x A、f(x)?3x?2
B、f(x)?3x?2
C、f(x)?2x?3
D、f(x)?2x?3
5、二次函数f(x)?ax?bx(a,b?R,a?0)满足f(?x?5)?f(x?3)，且方程f(x)=x有等根。
26、已知：f(x?1)?x?2x，求f(x)。
7、已知：f(x)为二次函数，且f(x?1)?f(x?1)?2x?4x，求f(x)。
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求函数的定义域与值域的常用方法
