第2讲 三角恒等变换与解三角形
[全国卷3年考情分析] 年份 全国卷Ⅰ 诱导公式及两角和的正2019 切公式·T7 正、余弦定理的应用·T11 三角函数的定义及恒等2018 变换·T11 正、余弦定理及三角形面积公式·T16 三角恒等变换、正弦定理2017 解三角形·T11 三角恒等变换求值问题·T15 (1)高考对此部分的考查一般以“二小”或“一大”的命题形式出现.
(2)若无解答题，一般在选择题或填空题各有一题，主要考查三角恒等变换、解三角形，难度一般，一般出现在第4～11或第14～16题位置上.
(3)若以解答题命题形式出现，主要考查三角函数与解三角形的综合问题，一般出现在解答题第17(或18)题位置上，难度中等.在17(或18)题位置上进行考查时，与“数列”交替进行考查(近三年文科多考“数列”).
考点一三角恒等变换
[例1] (1)(2019·重庆市学业质量调研)已知15sinθ＝cos(2π－θ)，则tan2θ＝( )
A.－C.－15
715 8
B.D.
15 715 8
利用正、余弦定理解三角形·T16 全国卷Ⅱ 二倍角公式的应用·T11 正弦定理的应用·T15 二倍角公式及余弦定理·T7 诱导公式及三角恒等变换·T15 全国卷Ⅲ 正弦定理的应用及三角形面积计算·T18 二倍角公式·T4 三角形的面积公式及余弦定理·T11 三角恒等变换求值问题·T4 利用正弦定理解三角形·T15 (2)已知sinα＝A.5π 12
510，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则角β等于( ) 510
B.π
3
1
C.
π 4
D.
π 6
15，15
[解析] (1)法一：由15sinθ＝cos(2π－θ)，得15sinθ＝cosθ，所以tanθ＝2×15
15
2tanθ15
则tan2θ＝＝＝，故选B. 2
1－tanθ27
?15?1－???15?
法二：由15sinθ＝cos(2π－θ)，得15sinθ＝cosθ，所以tan2θ＝2sinθcosθ2sinθ·15sinθ15
＝＝，故选B. 22
cosθ－sinθ（15sinθ）2－sin2θ7
ππ
(2)∵0<α<，0<β<，
22ππ
∴－<α－β<. 22∵sin(α－β)＝－
105
，sinα＝， 105
sin2θ＝
cos2θ31025
∴cos(α－β)＝，cosα＝，
105∴cosβ＝cos[α－(α－β)]
＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β) ＝
253105?210?
×＋×?－＝， ?5105?10?2
π∴β＝. 4
[答案] (1)B (2)C
[解题方略] 三角函数求值的类型及方法
解决给角求值问题的关键是两种变换：一是角的变换，注意各角之间是否具有和差关系、互补(余)关系、倍半关系，从而选择相应公式进行转化，把非特殊给角求值 角的三角函数相约或相消，从而转化为特殊角的三角函数；二是结构变换，在熟悉各种公式的结构特点、符号特征的基础上，结合所求式子的特点合理地进行变形 给值求值 给值求值的关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异，一般可以适当变换已知式，求得另外某些函数式的值，以备应用.同时也要注意变换待求式， 2
便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的 给值求角
[跟踪训练]
1.(2019·全国卷Ⅰ)tan255°＝( ) A.－2－3 C.2－3
B.－2＋3 D.2＋3
实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围 解析：选D tan255°＝tan(180°＋75°)＝tan75°＝tan(45°＋30°)＝33tan45°＋tan30°＝＝2＋3.故选D.
1－tan45°tan30°3
1－
3
1＋
4??3??2.(2019·洛阳尖子生第二次联考)若复数z＝?cosθ－?＋?sinθ－?i是纯虚数(i为5??5??π??虚数单位)，则tan?θ－?的值为( )
4??
A.－7 C.7
1
B.－
71
D.－7或－ 7
4
cosθ－＝0，??5
解析：选A 由复数z为纯虚数，得?
3
??sinθ－5≠0，4
cosθ＝，??53即?又sinθ＋cosθ＝1，所以sinθ＝－，
53
??sinθ≠5，2
2
π3
tanθ－tan－－1
44π?3?θ－所以tanθ＝－，于是tan?＝＝－7. ?＝
4?4π3???1＋tanθtan1＋?－?×1
4?4?1?ππ?2
3.(2019·江西省五校协作体试题)若θ∈?－，?，且2sinθ＋3sin2θ＝－，
5?612?
3
π??则tan?2θ＋?＝________. 12??
112
解析：由2sinθ＋3sin2θ＝－，得1－cos2θ＋3sin2θ＝－，得cos2θ－3
55π?6π?36π???ππ?sin2θ＝，2cos?2θ＋?＝，即cos?2θ＋?＝，又θ∈?－，?，所以2θ＋∈
3?53?553???612?ππ??0，π?，则tan?2θ＋π?＝4，所以tan?2θ＋π?＝tan??2θ＋?＝??－???????3?4?2?3?12?3??????π?π?tan?2θ＋?－tan
3?4?1
＝.
π?π7?1＋tan?2θ＋?tan3?4?
1
答案：
7
考点二利用正、余弦定理解三角形
题型一 利用正、余弦定理进行边、角计算
[例2] 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(1)求角A的大小；
(2)设D为AC边上一点，且BD＝5，DC＝3，a＝7，求c. [解] (1)∵在△ABC中，∴即
3c＝tanA＋tanB， acosB3c＝tanA＋tan B. acosB3sinCsinAsinB＝＋，
sinAcosBcosAcosB3sinCsinAcosB＋sinBcosA＝，
sinAcosBcosAcosB31
＝，则tanA＝3， sinAcosA∴
π
又0 3(2)由BD＝5，DC＝3，a＝7， 4 25＋9－491 得cos∠BDC＝＝－， 2×3×52又0<∠BDC<π，∴∠BDC＝ 2π . 3 π 又A＝，∴△ABD为等边三角形，∴c＝5. 3 [变式1] 若本例(2)变为：a＝3，求b＋c的取值范围. 解：由余弦定理a＝b＋c－2bccosA， 可得b＋c－3＝bc， 322 即(b＋c)－3＝3bc≤(b＋c)，当且仅当b＝c时取等号， 4∴b＋c≤23， 又由两边之和大于第三边可得b＋c>3， ∴b＋c∈(3，23]. [变式2] 若本例(2)变为：AD⊥BC，且a＝3，求AD的取值范围. 11 解：∵S△ABC＝AD·BC＝bcsinA， 221 ∴AD＝bc. 2 1b＋c－a2bc－3 由余弦定理得cosA＝＝≥， 22bc2bc∴0 2?2? [解题方略] 正、余弦定理的适用条件 (1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理. (2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理. [注意] 应用定理要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”. 题型二 利用正、余弦定理进行面积计算 [例3] (2019·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin＝bsinA. (1)求B； (2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围. 5 2 2 2 2 2 2 2 2 A＋C2
(全国通用)2020版高考数学二轮复习第二层提升篇专题 三角函数与解三角形-三角恒等变换与解三角形讲义
