课 程 设 计
课程设计名称：用双线性变换法设计原型低通为
椭圆型的数字IIR带通滤波器
专 业 班 级 ： xxxxxx 学 生 姓 名 ： xxx 学 号 ： xxxxxxxxxxxx 指 导 教 师 ： xxx 课程设计时间： 2014.6.16至2014.6.20
电子信息工程 专业课程设计任务书
学生姓名 题 目 课题性质 指导教师 用双线性变换法设计原型低通为椭圆型的数字IIR低通滤波器，要求通带边界频率为400Hz，阻带边界频率分别为500Hz，通带最大衰减1dB，阻带最小衰减40dB，抽样频率为2000Hz，用MATLAB画出幅频特性，画出并分析滤主要内容 波器传输函数的零极点； 信号x(t)?x1(t)?x2(t)?sin(2?f1t)?sin(2?f2t)经过该滤波器，其中XXX 专业班级 XXXX 学号 XXXXXX 用双线性变换法设计原型低通为椭圆型的数字IIR低通滤波器 其他 XX 课题来源 同组姓名 自拟 f1?300Hz，f2?600Hz，滤波器的输出y(t)是什么？用Matlab验证你的结论并给出x1(t),x2(t),x(t),y(t)的图形。 1、掌握用双线性变换法设计原型低通为椭圆型的数字IIR低通滤波器的原任务要求 理和设计方法。 2、求出所设计滤波器的Z变换。 3、用MATLAB画出幅频特性图。 4、验证所设计的滤波器。 1、程佩青著，《数字信号处理教程》，清华大学出版社，2001 2、Sanjit K. Mitra著，孙洪，余翔宇译，《数字信号处理实验指导书（MATLAB参考文献 版）》，电子工业出版社，2005年1月 3、郭仕剑等，《MATLAB 7.x数字信号处理》，人民邮电出版社，2006年 4、胡广书，《数字信号处理 理论算法与实现》，清华大学出版社，2003年 指导教师签字： 审查意见 教研室主任签字： 2014 年06 月 12 日 说明：本表由指导教师填写，由教研室主任审核后下达给选题学生，装订在设计（论文）首页
一 需求分析和技术要求
1、需求分析
滤波器从广义上来说对特定的频点或频点以外的频率进行有效滤波的电路，这种电路保留输入信号中的有用信息，滤除不需要的信息，从而达到信号的检测、提取、识别等不同的目的。如果处理的信号是时域离散信号，那么相应的处理系统就称为数字滤波器，由于在实际工作中被处理的信号都是幅度量化的数字信号，因此，数字滤波器实际上是用有限精度的算法实现一个线性时不变的时域离散系统。
数字滤波器的种类很多，分类方法也不同，可以从功能上分类，也可以从实现方法上及设计方法上来分类等等。滤波器在功能上总的可分为四类，即低通(LP)、高通(HP)、带通(BP)、带阻(BS)滤波器等，从实现方法上，由有限长冲激响应的数字滤波器被称为FIR滤波器，具有无限长冲激响应的数字滤波器称作IIR滤波器。
椭圆滤波器（Elliptic filter）又称考尔滤波器（Causer filter），是在通带和阻带等波纹的一种滤波器。椭圆滤波器相比其他类型的滤波器，在阶数相同的条件下有着最小的通带和阻带波动。它在通带和阻带的波动相同，这一点区别于在通带和阻带都平坦的巴特沃斯滤波器，以及阻带平坦、通带等波纹的切比雪夫滤波器。
利用双线性变换法将模拟传输信号Ha(s)变换为数字传输函数G(z)，从而是z域的数字传输函数保留s域的模拟传输函数的基本性质。设计成的IIR数字低通滤波器能够去掉信号中不必要的高频成分，降低采样频率，避免频率混淆，去掉高频干扰。
2、技术要求
1、掌握用双线性变换法设计原型低通为椭圆型的数字IIR低通滤波器的原理
和设计方法。
2、求出所设计滤波器的Z变换。 3、用MATLAB画出幅频特性图。 4、验证所设计的滤波器。
二 设计原理及设计思路
1、设计原理
数字滤波器是一种用来过滤时间离散信号的数字系统，通过对抽样数据进行数学处理来达到频域滤波的目的。数字滤波器也是具有一定传输选择特性的数字信号处理装置，其输入、输出均为数字信号，实质上是一个由有限精度算法实现的线性时不变离散系统。
IIR数字滤波器采用递归型结构，即结构上带有反馈环路。IIR滤波器运算结构通常由延时、乘以系数和相加等基本运算组成，可以组合成直接型、正准型、级联型、并联型四种结构形式，都具有反馈回路。数字滤波器根据其冲激响应函数的时域特性，可分为两种，即无限长冲激响应(IIR)数字滤波器和有限长冲激响应(FIR)数字滤波器。IIR 数字滤波器的特征是，具有无限持续时间冲激响应，需要用递归模型来实现，其差分方程为：
（2.1）
（2.2）
设计IIR滤波器的任务就是寻求一个物理上可实现的系统函数H(z)，使其频率
响应H(z)满足所希望得到的频域指标，即符合给定的通带截止频率、阻带截止频率、通带衰减系数和阻带衰减系数。本次课程设计采用双线性变换法。 双线性变换法设计IIR数字滤波器
双线性变换法主要是采用非线性频率压缩方法，将整个频率轴上的频率范围压缩到-π/T～π/T之间，再用z=esT转换到Z平面上。也就是说，第一步先将整个S平面压缩映射到S1平面的-π/T～π/T一条横带里；第二步再通过标准变换关系z=es1T将此横带变换到整个Z平面上去。这样就使S平面与Z平面建立了一一对应的单值关系，消除了多值变换性，也就消除了频谱混叠现象，映射关系如图1所示。
j?j?1jIm[z]??/ T－1o1oRe[z]?o－??/ T?1S平面S1平面Z平面
图1双线性变换的映射关系
为了将S平面的整个虚轴jΩ压缩到S1平面jΩ1轴上的-π/T到π/T段上，可以通过以下的正切变换实现
??1T? ? ?2 tan ? ? T?2? (2.3)
式中,T仍是采样间隔。
当Ω1由-π/T经过0变化到π/T时，Ω由-∞经过0变化到+∞，也即映射了整个jΩ轴。将式（2.3）写成
/2/2 2 j?1T ej?1T ?ej???j?1T/2?j?1T/2Te?e (2.4)
将此关系解析延拓到整个S平面和S1平面，令jΩ=s，jΩ1=s1，则得
2?s1T/2s1T 2 2 ?s1T ? 21 ?e? es1T/ ?e s??s1T/2?tanh?????sTTe?e?s1T/2T?2?T1?e1 （2.5）
再将S1平面通过以下标准变换关系映射到Z平面
z=es1T
(2.6)
从而得到S平面和Z平面的单值映射关系为：
21?z?1s?T1?z?1 （2.7）
T2s?s2Tz??T2 （2.8） 1?s?s2T1?式（2.7）与式（2.8）是S平面与Z平面之间的单值映射关系，这种变换都
是两个线性函数之比，因此称为双线性变换
式（2.6）与式（2.7）的双线性变换符合映射变换应满足的两点要求。
用双线性变换法设计原型低通为椭圆型的数字IIR带通滤波器.
