第十届东南数学奥林匹克解答
第一天
(2013年7月27日 上午8：00－12：00) 江西 鹰潭
2a3?3ab?3a1. 实数a,b使得方程x?ax?bx?a?0有三个正实根．求的
b?1最小值．
32（杨晓鸣提供）
解 设方程x3?ax2?bx?a?0的三个正实根分别为x1,x2,x3，则由根与系数的关系可得
x1?x2?x3?a,x1x2?x2x3?x1x3?b,x1x2x3?a，
故a?0,b?0．
由(x1?x2?x3)2?3(x1x2?x2x3?x1x3)知：a2?3b． 又由a?x1?x2?x3?3x1x2x3?3a知：a?33．因此
2a3?3ab?3aa(a2?3b)?a3?3aa3?3aa3?3a??2?3a?93， ?ab?1b?1b?1?13当a?33,b?9，即方程三个根均为3时等号成立．
33综上所述，所求的最小值为93．
2. 如图，在?ABC中，AB?AC，内切圆I与BC边切于点D，AD交内切圆I于另一点E，圆I的切线EP交BC的延长线于点P，CF平行PE交AD于点
F，直线BF交圆I于点M,N，点M在线段BF上，线段PM与圆I交于另一点Q．证明：?ENP??ENQ． （张鹏程提供）
证法1 设圆I与AC,AB分别切于点S,T联结ST,AI,IT，设ST与AI交于点G，则IT?AT,TG?AI，从而有AG?AI?AT2?AD?AE，所以I,G,E,D四点共圆．
又IE?PE,ID?PD，所以I,E,P,D四点共圆，从而I,G,E,P,D五点共圆．
所以?IGP??IEP?90o，即IG?PG，
从而P,S,T三点共线．
直线PST截?ABC，由梅涅劳斯定理知，
ASCPBT???1， SCPBTA又AS?AT,CS?CD,BT?BD，所以有
PCBD??1． ① PBCD设BN的延长线交PE 于点H，直线BFH截?PDE，由梅涅劳斯定理知，
PHEFDB???1． HEFDBP因为CF平行于BE，所以
EFPC，从而有 ?FDCDPHPCDB ② ???1．
HECDBP由①、②知，PH?HE，故PH2?HE2?HM?HN，所以
PHHN，?PHN∽?MHP，?HPN??HMP??NEQ， ?HMPH又?PEN??EQN，所以?ENP??ENQ．
证法2 设圆I与AC,AB分别切于点S,T，则由PI?AD知
PA2?PD2?IA2?ID2?IA2?IT2?AT2，
所以PA2?AT2?PD2?IP2?ID2?IP2?IT2，从而AI?PT．又AI?ST，所以
P,S,T三点共线．
以下同证法1．
2an?(?1)n3. 数列?an?满足：a1?1,a2?2,an?1?(n?2,3,L)．证明：该数
an?1列任意两个相邻项的平方和仍是该数列中的一个项．
（陶平生提供）
2an?(?1)n2?(?1)n(n?2,3,L,)，于是 证 由an?1?得an?1an?1?anan?122n?12an?an?2anan?2?anan?an?2?1?(?1)?2 ??an?1an?1an?2an?1an?22a?aa?aan?aa??1n?1n?3?n?1n?3?L?31?2，
an?2a2an?1an?2故an?2an?1?an?2(n?3)．从而
a1?1,a2?2,a3?5,a4?12,a5?29,a6?70,a7?169,L，
2222222?5?a3,a2?a3?29?a5,a3?a4?169?a7，故猜想an?an可见a12?a2 ?1?a2n?1．
22?an令f(n)?an?1?a2n?1，于是
2222f(n?1)?f(n)?an?1?an?2?a2n?3?an?an?1?a2n?1
?(an?2?an)(an?2?an)?(a2n?3?a2n?1)
?2an?1(an?2?an)?2a2n?2?2g(n)， ①
其中g(n)?an?1(an?2?an)?a2n?2．进一步有
g(n?1)?g(n)?an?2(an?3?an?1)?a2n?4?an?1(an?2?an)?a2n?2 ?an?2an?3?an?1an?2a2n?3?an?2(2an?2?an?1)?an?1(an?2?2an?1)?2a2n?3
22?2an ② ?2?2an?1?2a2n?3?2f(n?1)．
由①、②知
4f(n?1)?2g(n?1)?2g(n)?f(n?2)?f(n?1)?f(n?1)?f(n)，
即f(n?2)?6f(n?1)?f(n)．由于f(1)?f(2)?0，根据递推式可知f(n)?0，
22?an即an?1?a2n?1．证毕．
4. 十二个杂技演员编号分别为1,2,L,12，将他们按适当方式分别围成
A,B两个圈，每圈6人，其中B圈的每个演员分别站在A圈相邻两个演员的肩
膀上．如果B圈中每个演员的编号分别等于他脚下两个演员的编号之和，就称这样搭配成的结构为一个“塔”，问总共能搭配成多少个结构不相同的“塔”？ （注：旋转或对称后的塔属于同一种结构．以8个人的情况为例，画一个圆，将底层演员编号填在圈内，上层演员编号填在圈外，那么以下三个图均是“塔”，但后两个图分别可由第一个图经旋转或对称而得，故它们属于同一种结构．） （陶平生提供）
768214358253671454321768解 将组A,B中的元素和分别记为x,y，则有y?2x，所以
3x?x?y?1?2?L?12?78，x?26．
显然有1,2?A，11,12?B，设A??1,2,a,b,c,d?，其中a?b?c?d，则
第十届中国东南地区数学奥林匹克试题解答
