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专题探究课五 高考中解析几何问题的热点题型
x2
1.(2015·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中，曲线C：y＝4与直线l：y＝kx＋a(a>0)交于M，N两点，
(1)当k＝0时，分别求C在点M和N处的切线方程；
(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM＝∠OPN？说明理由. 解 (1)由题设可得M(2a，a)，N(－2a，a)， 或M(－2a，a)，N(2a，a).
xx2
又y′＝2，故y＝4在x＝2a处的导数值为a，C在点(2a，a)处的切线方程为y－a＝a(x－2a)， 即ax－y－a＝0.
x2
y＝4在x＝－2a处的导数值为－a，C在点(－2a，a)处的切线方程为y－a＝－a(x＋2a)， 即ax＋y＋a＝0.
故所求切线方程为ax－y－a＝0和ax＋y＋a＝0. (2)存在符合题意的点，证明如下：
设P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2.
将y＝kx＋a代入C的方程得x2－4kx－4a＝0. 故x1＋x2＝4k，x1x2＝－4a. y1－by2－b
从而k1＋k2＝x＋x
1
2
2kx1x2＋（a－b）（x1＋x2）k（a＋b）＝＝.
xxa
12
当b＝－a时，有k1＋k2＝0，
则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补， 故∠OPM＝∠OPN，所以点P(0，－a)符合题意.
x2y2
2.(2016·北京卷)已知椭圆C：a2＋b2＝1过点A(2，0)，B(0，1)两点. (1)求椭圆C的方程及离心率；
1
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(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值. (1)解 由题意知a＝2，b＝1.
x22
所以椭圆方程为4＋y＝1，又c＝a2－b2＝3. c3
所以椭圆离心率e＝a＝2.
2
(2)证明 设P点坐标为(x0，y0)(x0＜0，y0＜0)，则x20＋4y0＝4，由B点坐标(0，
y0－1
1)得直线PB方程为：y－1＝x(x－0)，
0令y＝0，得xN＝
x0x0
，从而|AN|＝2－xN＝2＋， 1－y0y0－1
y0
(x－2)， x0－2
由A点坐标(2，0)得直线PA方程为y－0＝令x＝0，得yM＝
2y0
， 2－x0
2y0
， x0－2
从而|BM|＝1－yM＝1＋
1
所以S四边形ABNM＝2|AN|·|BM| x0??2y0?1?2＋1＋???? ＝2
?y0－1??x0－2?
2
x20＋4y0＋4x0y0－4x0－8y0＋4＝
2（x0y0－x0－2y0＋2）
2x0y0－2x0－4y0＋4＝＝2. x0y0－x0－2y0＋2即四边形ABNM的面积为定值2.
3.已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆过点P(2，3)，1且它的离心率e＝2. (1)求椭圆的标准方程；
(2)与圆(x－1)2＋y2＝1相切的直线l：y＝kx＋t交椭圆于M，N两点，若椭圆上一→＋ON→＝λOC→，求实数λ的取值范围.
点C满足OM
2
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x2y2
解 (1)设椭圆的标准方程为a2＋b2＝1(a＞b＞0)，
??c1?a＝8，
由已知得：?解得?
＝，?b＝6，a2??c＝a－b，
22
2
2
2
43
a2＋b2＝1，
x2y2
所以椭圆的标准方程为8＋6＝1.
(2)因为直线l：y＝kx＋t与圆(x－1)2＋y2＝1相切， |t＋k|1－t2
所以＝1?2k＝t(t≠0)，
1＋k2x2y2
把y＝kx＋t代入8＋6＝1并整理得： (3＋4k2)x2＋8ktx＋(4t2－24)＝0，
8kt
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则有x1＋x2＝－，
3＋4k2y1＋y2＝kx1＋t＋kx2＋t＝k(x1＋x2)＋2t＝→＝(x＋x，y＋y)， 因为λOC1212
－8kt6t??
，??， 所以C22
（3＋4k）λ（3＋4k）λ??又因为点C在椭圆上，所以，
8k2t26t22t222
＋＝1?λ＝＝，
（3＋4k2）2λ2（3＋4k2）2λ23＋4k2?1?21
?t2?＋2＋1??t?1?21
因为t＞0，所以?t2?＋t2＋1＞1，
??
2
6t
， 3＋4k2
所以0＜λ2＜2，所以λ的取值范围为(－2，0)∪(0，2). 4.已知椭圆C的方程为：x2＋2y2＝4. (1)求椭圆C的离心率；
(2)设O为坐标原点，若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值.
x2y2
解 (1)由题意，椭圆C的标准方程为4＋2＝1，
3
2024版高考数学新增分大一轮新高考鲁京津琼专用讲义专题探究课五高考中解析几何问题的热点题型
