文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.
第5章 连续时间信号的抽样与量化
5.1 试证明时域抽样定理。
证明： 设抽样脉冲序列是一个周期性冲激序列，它可以表示为 由频域卷积定理得到抽样信号的频谱为：
式中F(?)为原信号f(t)的频谱，?T(?)为单位冲激序列?T(t)的频谱。可知抽样后信号的频谱Fs(?)由F(?)以 ?s为周期进行周期延拓后再与1Ts相乘而得到，这意味着如果
?s?2?m，抽样后的信号fs(t)就包含了信号f(t)的全部信息。如果?s?2?m，即抽样
间隔Ts?1，则抽样后信号的频谱在相邻的周期内发生混叠，此时不可能无失真地重建2fm1，f(t)才能由fs(t)完全恢复，这就证明了抽样定理。 2fm原信号。 因此必须要求满足Ts?5.2 确定下列信号的最低抽样频率和奈奎斯特间隔： （1）Sa(50t)
（2）Sa(100t)
（4）Sa(100t)?Sa(60t)
22（3） Sa(50t)?Sa(100t)
解：抽样的最大间隔Ts?12fm称为奈奎斯特间隔，最低抽样速率fs?2fm称为奈奎斯特速率，最低采样频率?s?2?m称为奈奎斯特频率。 （1）Sa(50t)??50[u(??50)?u(??50)]，由此知?m?50rad/s，则fm?50，奈奎斯特间隔Ts?25?，
由抽样定理得：最低抽样频率fs?2fm??1??。 fs502（2）Sa(100t)??100(1??200)
rad/s，则fm?脉宽为400，由此可得?m?200100?，由抽样定理得最低抽样频率
fs?2fm?200?，奈奎斯特间隔Ts?1??。 fs200（3）Sa(50t)??50[u(??50)?u(??50)]，该信号频谱的?m?50rad/s [u(??100)?u(??100)],该信号频谱的?m?100rad/s
Sa(100t)??1001文档收集于互联网，已整理，word版本可编辑.
文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.
Sa(50t)?Sa(100t)信号频谱的?m?100抽样频率fs?2fm?（4）Sa(100t)?rad/s,则fm?50?，由抽样定理得最低
100?，奈奎斯特间隔Ts?1??。 fs100?100[u(??100)?u(??100)],该信号频谱的?m?100
Sa2(60t)??60(1?2?120)，该信号频谱的?m?120rad/s
所以Sa(100t)?Sa(60t)频谱的?m?120低抽样频率fs?2fm?rad/s, 则fm?60?，由抽样定理得最
120?，奈奎斯特间隔Ts?1??。 fs1205.3 系统如题图5.3
?所示，f1(t)?Sa(1000?t)，f2(t)?Sa(2000?t)，
p(t)?n?????(t?nT)，f(t)?f(t)f12(t)，fs(t)?f(t)p(t)。
（1）为从fs(t)中无失真地恢复f(t)，求最大采样间隔Tmax。
（2）当T?Tmax时，画出fs(t)的幅度谱Fs(?)。
时域相乘 时域抽样
题图 5.3
解：
（1）先求f(t)的频谱F(j?)。
由此知F(j?)的频谱宽度为6000?，且?m?3000?的最大允许间隔Tmax??rad/s，则fm?1500Hz，抽样
11?s 2fm3000（2）p(t)?n?????(t?nT)，所以为用冲激序列对连续时间信号为f(t)进行采样，设原输
入信号f(t)的频谱密度为F(?)，而单位冲激序列的频谱密度为：
2文档收集于互联网，已整理，word版本可编辑.
文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.
2?p(?)?Tn?????(??n??s) 其中
?s?2? T则根据频域卷积定理得抽样信号fs(t)的频谱为： 而T?Tmax，则?s?2??3000?2??6000?Tmaxrad/s，幅度谱如下图所表示。
5.4 对信号f(t)?eu(t)进行抽样，为什么一定会产生频率混叠效应？画出其抽样信号的频谱。
解： 由第三章知识知，该单边指数信号的频谱为：
其幅度频谱和相位频谱分别为
单边非因果指数函数的波形f(t)、 幅度谱F(j?)、相位谱?(?)如下图所示，其中a?1。
单边指数信号的波形和频谱
显然该信号的频谱范围为整个频域，故无论如何抽样一定会产生频率混叠效应。抽样后的频谱是将原信号频谱以抽样频率?s为周期进行周期延拓，幅度变为原来的
?t1而得到。图Ts略。
5.5 题图5.5所示的三角形脉冲，若以20Hz频率间隔对其频率抽样，则抽样后频率对应的
时域波形如何？以图解法说明。
x(t) -50 0 50 t/ms
题图 5.5
解：三角形脉冲的频谱可根据傅里叶变换的时域微分特性得到，具体求解可参考课本第三章。由此可知，脉宽为?幅度为E的三角形脉冲其频谱为
?E2Sa(??4)2。其波形如图所示。
三角函数的频谱
在x(t)中，??100ms?0.1s易求得x(t)的频谱为： 在??4??k?k?40?(k为整数)处，X(j?)为零，图略。
由频域卷积定理，抽样信号的频谱为：
其中Ts?11??0.05s，?s?2?fs?40?rad/s。抽样后的频谱是将三角形fs20Hz3文档收集于互联网，已整理，word版本可编辑.
信号与系统第5章习题答案(供参考)
