高中数学——空间向量与立体几何练习题附答案

由天下分享时间：2025/1/7 22:02:46 加入收藏我要投稿点赞

空间向量练习题

1. 如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD

的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2. （Ⅰ）证明：平面PBE⊥平面PAB;

（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小.

如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系.则相关各点的坐标分别是A（0，0，0），B（1，0，0），

33133C(,,0),D(,,0),P（0，0，2）,E(1,,0). 22222（Ⅰ）证明因为BE?(0,3,0)， 2平面PAB的一个法向量是n0?(0,1,0)，所以BE和n0共线.从而BE⊥平面PAB. 又因为BE?平面PBE，故平面PBE⊥平面PAB.

uuuruuuruuuruuur313，0），,0) (Ⅱ)解易知PB?(1,0,?2),BE?(0, PA?(0,0,?2),AD?(,222uruuur?r?n1gPB?0, 设n1?(x1,y1,z1)是平面PBE的一个法向量，则由?u得 ruuur??n1gBE?0?x1?0?y1?2z1?0,ur?所以y1?0,x1?2z1.故可取n1?(2,0,1). ?3y2?0?z2?0.?0?x1??2uuruuur?uur?n2gPA?0, 设n2?(x2,y2,z2)是平面PAD的一个法向量，则由?u得uruuur??n2gAD?0?0?x2?0?y2?2z2?0,uur?所以z2?0,x2??3y2.故可取n2?(3,?1,0). ?13y2?0?z2?0.?x2??22

uruururuurn1gn22315?. 于是，cos?n1,n2??uruur?55?2n1gn215. 5 故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是arccos2. 如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点。（Ⅰ）求证：AB1⊥面A1BD；

（Ⅱ）求二面角A－A1D－B的大小；（Ⅲ）求点C到平面A1BD的距离；

（Ⅰ）证明取BC中点O，连结AO． Q△ABC为正三角形，?AO⊥BC．

Q在正三棱柱ABC?A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，

?AD⊥平面BCC1B1．

uuuruuuurruuu取B1C1中点O1，以O为原点，OB，OO1，OA的方向为x，y，z轴的正方向建立空间0，3)，B1(1，2，0)，直角坐标系，则B(1，0，0)，D(?11，，0)，A1(0，2，3)，A(0，uuuruuuruuurBD?(?2，1，0)，，?AB1?(1，2，?3)BA1?(?1，2，3)．

uuuruuuruuuruuurQAB1gBD??2?2?0?0，AB1gBA1??1?4?3?0， uuuruuuruuuruuur?AB1⊥BD，AB1⊥BA1．

A z ?AB1⊥平面A1BD．

（Ⅱ）解设平面A1AD的法向量为n?(x，y，z)．

C O B x D F A1 uuuruuurAD?(?11，，?3)，AA1?(0，2，0)．

C1 y uuuruuurQn⊥AD，n⊥AA1，

uuur??ngAD?0，???x?y?3z?0，??y?0，??uuur????

???2y?0，?x??3z．?ngAA1?0，?0，1)为平面A1AD的一个法向量．令z?1得n?(?3，由（Ⅰ）知AB1⊥平面A1BD，

uuur?AB1为平面A1BD的法向量．

uuuruuurngAB1?3?36cos?n，AB1????． uuur?42g22ngAB1?二面角A?A1D?B的大小为arccos6． 4uuur（Ⅲ）解由（Ⅱ），AB1为平面A1BD法向量，

uuuruuurQBC?(?2，0，，0)AB1?(1，2，?3)．

uuuruuurBCgAB1?22?点C到平面A1BD的距离d?uuur?． ?222AB13.如图，在四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，

zCA?CB?CD?BD?2,AB?AD?2.