??m+1≤2m-1,或? ?2m-1<-2,?
???m≥2,?解得?或?1
??m>4m<-.?
?
2
即m>4.
综上可知,实数m的取值范围为(-∞,2)∪(4,+∞).
m≥2,
A.P?Q C.?RP?Q
B.Q?P D.Q??RP
1.设P={y|y=-x2+1,x∈R},Q={y|y=2x,x∈R},则( )
解析:选C.因为P={y|y=-x2+1,x∈R}={y|y≤1},Q={y|y=2x,x∈R}={y|y>0},所以?RP={y|y>1},所以?RP?Q,选C.
2.(2020·绍兴调研)设A={1,4,2x},B={1,x2},若B?A,则x=________. 解析:由B?A,则x2=4,或x2=2x.当x2=4时,x=±2;当x2=2x时,x=0或x=2.但当x=2时,2x=4,这与集合中元素的互异性相矛盾.故x=-2或x=0.
答案:-2或0
3.已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0 解析:由x2-3x+2=0,得x=1或x=2,所以A={1,2}.由题意知B={1,2,3,4}, 所以满足条件的C可为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}. 答案:4 集合的基本运算(高频考点) 集合的基本运算是历年高考的热点,每年必考,常和不等式的解集、函数的定义域、值域等相结合命题,主要以选择题的形式出现.试题多为低档题.主要命题角度有: (1)求集合间的交、并、补运算; (2)已知集合的运算结果求参数. 角度一 求集合间的交、并、补运算 (1)(2018·高考浙江卷)已知全集U={1,2,3,4,5},A={1,3},则?UA=( ) A.? C.{2,4,5} B.{1,3} D.{1,2,3,4,5} (2)(2019·高考浙江卷)已知全集U={-1,0,1,2,3},集合A={0,1,2},B={-1,0,1},则(?UA)∩B=( ) A.{-1} C.{-1,2,3} B.{0,1} D.{-1,0,1,3} (3)(2020·浙江高考模拟)设全集U=R,集合A={x|x2-x-2<0},B={x|1 【解析】 (1)因为U={1,2,3,4,5},A={1,3}, 所以?UA={2,4,5}.故选C. (2)由题意可得?UA={-1,3},则(?UA)∩B={-1}.故选A. (3)因为A={x|x2-x-2<0}={x|-1 所以A∪B={x|-1 【答案】 (1)C (2)A (3)(-1,3) (-∞,1]∪[2,+∞) 角度二 已知集合的运算结果求参数 (1)设集合A={1,2,4},B={x|x2-4x+m=0}.若A∩B={1},则B=( ) A.{1,-3} C.{1,3} B.{1,0} D.{1,5} (2)(2020·浙江新高考优化卷)已知A={x|x>1},B={x|x A.-1 C.1 【解析】 (1)因为A∩B={1}, 所以1∈B, B.0 D.2 所以1-4+m=0, 所以m=3. 由x2-4x+3=0,解得x=1或x=3. 所以B={1,3}. 经检验符合题意.故选C. (2)因为A∪B=R, 所以m>1. 故m的值可以是2,故选D. 【答案】 (1)C (2)D (1)集合运算的常用方法 ①若集合中的元素是离散的,常用Venn图求解. ②若集合中的元素是连续的实数,则用数轴表示,此时要注意端点的情况. (2)利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法 ①与不等式有关的集合,一般利用数轴解决,要注意端点值能否取到. ②若集合能一一列举,则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系,再列方程(组)求解. [提醒] 在求出参数后,注意结果的验证(满足互异性). 1.已知集合P={x∈R|1≤x≤3},Q={x∈R|x2≥4},则P∪(?RQ)=( ) A.[2,3] C.[1,2) B.(-2,3] D.(-∞,-2]∪[1,+∞) 解析:选B.由于Q={x|x≤-2或x≥2}, ?RQ={x|-2<x<2}, 故得P∪(?RQ)={x|-2<x≤3}.故选B. 2.设全集S={1,2,3,4},且A={x∈S|x2-5x+m=0},若?S A={2,3},则m=________. 解析:因为S={1,2,3,4},?SA={2,3},所以A={1,4},即1,4是方程x2-5x+m=0的两根,由根与系数的关系可得m=1×4=4. 答案:4 核心素养系列1 数学抽象——集合的新定义问题 以集合为背景的新定义问题常以“问题”为核心,以“探究”为途径,以“发现”为目 的,这类试题只是以集合为依托,考查考生对新概念的理解,充分体现了核心素养中的数学抽象. 对于E={a1,a2,…,a100}的子集X={ai1,ai2,…,aik},定义X的“特征数列” 为x1,x2,…,x100,其中xi1=xi2=…=xik=1,其余项均为0.例如:子集{a2,a3}的“特征数列”为0,1,1,0,0,…,0. (1)子集{a1,a3,a5}的“特征数列”的前3项和等于________; (2)若E的子集P的“特征数列”p1,p2,…,p100满足p1=1,pi+pi+1=1,1≤i≤99,E的子集Q的“特征数列”q1,q2,…,q100满足q1=1,qj+qj+1+qj+2=1,1≤j≤98,则P∩Q的元素个数为________. 【解析】 (1)由已知可得子集{a1,a3,a5}的“特征数列”为1,0,1,0,1,0,…,0,故其前3项和为2. (2)由已知可得子集P为{a1,a3,…,a99},子集Q为{a1,a4,a7,…,a100},则两个子集的公共元素为a1到a100以内项数被6除余1的数对应的项,即a1,a7,…,a97,共17项. 【答案】 (1)2 (2)17 解决集合新定义问题的方法 (1)紧扣新定义.首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题难点的关键所在. (2)用好集合的性质.集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础,也是突破口,在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的性质. 31 设数集M={x|m≤x≤m+},N={x|n-≤x≤n},且M,N都是集合 43 U={x|0≤x≤1}的子集,定义b-a为集合{x|a≤x≤b}的“长度”,则集合M∩N的长度的最小值为________. 解析:在数轴上表示出集合M与N(图略), 13 可知当m=0且n=1或n-=0且m+=1时,M∩N的“长度”最小. 3423 当m=0且n=1时,M∩N={x|≤x≤}, 34321 长度为-=; 4312 1111当n=且m=时,M∩N={x|≤x≤}, 3443 111长度为-=. 3412 1 综上,M∩N的长度的最小值为. 121 答案: 12 [基础题组练] 1.已知集合A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},则A∩B中元素的个数为( ) A.1 C.3 B.2 D.4 解析:选B.因为集合A和集合B有共同元素2,4,所以A∩B={2,4},所以A∩B中元素的个数为2. 2.(2020·温州十五校联合体联考)已知集合A={x|ex≤1},B={x|ln x≤0},则A∪B=( ) A.(-∞,1] C.[1,e] B.(0,1] D.(0,e] 解析:选A.因为A={x|ex≤1}={x|x≤0}, B={x|ln x≤0}={x|0<x≤1}, 所以A∪B=(-∞,1],故选A. 3.(2020·宁波高考模拟)已知全集U=A∪B={x∈Z|0≤x≤6},A∩(?UB)={1,3,5},则B=( ) A.{2,4,6} C.{0,2,4,6} B.{1,3,5} D.{x∈Z|0≤x≤6} 解析:选C.因为全集U=A∪B={x∈Z|0≤x≤6}={0,1,2,3,4,5,6},A∩(?UB)={1,3,5},所以B={0,2,4,6},故选C. 4.设集合A={1,2,6},B={2,4},C={x∈R|-1≤x≤5},则(A∪B)∩C=( ) A.{2} C.{1,2,4,6} B.{1,2,4} D.{x∈R|-1≤x≤5} 解析:选B.因为A={1,2,6},B={2,4},所以A∪B={1,2,4,6},又C={x∈R|-1≤x≤5},所以(A∪B)∩C={1,2,4}.故选B. 5.(2020·宜春中学、新余一中联考)已知全集为R,集合A={x|x2-5x-6<0},B={x|2x<1},则图中阴影部分表示的集合是( ) A.{x|2 B.{x|-1
2021届浙江新高考数学一轮复习:第一章 1 第1讲 集合及其运算
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