知识点 最新考纲 了解集合、元素的含义及其关系． 理解集合的表示法． 集 合 了解集合之间的包含、相等关系． 理解全集、空集、子集的含义． 会求简单集合间的并集、交集． 理解补集的含义并会求补集. 了解原命题和原命题的逆命题、否命题、逆否命题的含义，及命题及其关系、充分条件与必要条件 其相互之间的关系． 理解命题的必要条件、充分条件、充要条件的意义，能判断并证明命题成立的充分条件、必要条件、充要条件. 第1讲 集合及其运算
1．集合与元素
(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或?表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法 集合 符号 自然数集 N 正整数集 N*(或N＋) 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 2.集合间的基本关系 表示 关系 基本关子集 真子集 文字语言 集合A的所有元素都是集合B的元素 集合A是集合B的子符号语言 x∈A? x∈B A?B，且存在x0∈B，记法 A?B或 B?A AB 系 集，且集合B中至少有一个元素不属于A 相等 集合A，B的元素完全相同 不含任何元素的集空集 合．空集是任何集合A的子集 3.集合的基本运算 图形 语言 符号 语言 4.集合的运算性质 (1)并集的性质：A∪?＝A；A∪A＝A； A∪B＝B∪A；A∪B＝A?B?A. (2)交集的性质：A∩?＝?；A∩A＝A； A∩B＝B∩A；A∩B＝A?A?B.
(3)补集的性质：A∪(?UA)＝U；A∩(?UA)＝?． (4)?U(?UA)＝A；?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)； ?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)．
A∪B＝ {x|x∈A，或x∈B} A∩B＝ 集合的并集 x0?A 或BA A?B， B?A A＝B 任意x，x??，??A ? 集合的交集 集合的补集 ?UA＝ {x|x∈A，且x∈B} {x|x∈U，且x?A}
[疑误辨析]
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．( ) (2)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.( ) (3){x|x≤1}＝{t|t≤1}．( )
(4)对于任意两个集合A，B，(A∩B)?(A∪B)恒成立． ( ) (5)若A∩B＝A∩C，则B＝C.( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)× [教材衍化]
1．(必修1P12A组T3改编)若集合P＝{x∈N|x≤2 021}，a＝22，则( ) A．a∈P B．{a}∈P C．{a}?P D．a?P
解析：选D.因为a＝22不是自然数，而集合P是不大于2 021的自然数构成的集合，
所以a?P.故选D.
2．(必修1P11例9改编)已知U＝{α|0°<α<180°}，A＝{x|x是锐角}，B＝{x|x是钝角}，则?U(A∪B)＝________．
答案：{x|x是直角}
3．(必修1P44A组T5改编)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为________．
解析：集合A表示以(0，0)为圆心，1为半径的单位圆，集合B表示直线y＝x，圆x2
＋y2＝1与直线y＝x相交于
两点?
22??22
，－，－?，则A∩B中有两个元素． ，
2??22??2
答案：2 [易错纠偏]
(1)忽视集合中元素的互异性致误； (2)忽视空集的情况致误； (3)忽视区间端点值致误．
1．已知集合A＝{1，3，m}，B＝{1，m}，若B?A，则m＝________．
解析：因为B?A，所以m＝3或m＝m，即m＝3或m＝0或m＝1，根据集合元素的互异性可知，m≠1，所以m＝0或3.
答案：0或3
2．已知集合M＝{x|x－2＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值是________． 解析：易得M＝{2}．因为M∩N＝N，所以N?M，所以N＝?或N＝M，所以a＝0或a1
＝. 2
1
答案：0或
2
3．已知集合A＝{x|x2－4x＋3＜0}，B＝{x|2＜x＜4}，则A∩B＝________，A∪B＝________，(?RA)∪B＝________．
解析：由已知得A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|2＜x＜4}，所以A∩B＝{x|2＜x＜3}，A∪B＝{x|1＜x＜4}，
(?RA)∪B＝{x|x≤1或x＞2}．
答案：(2，3) (1，4) (－∞，1]∪(2，＋∞)
集合的含义
(1)已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{(x，y)|x≥y，x∈A，y∈A}中元素的个数
是( )
A．1 C．6
B．3 D．9
(2)若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝( ) 9A．
2C．0
9B．
89
D．0或
8
?
?
b??
(3)设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝?0，a，b?，则b－a＝________．
【解析】 (1)当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0或y＝1；当x＝2时，y＝0，1，2. 故集合B＝{(0，0)，(1，0)，(1，1)，(2，0)，(2，1)，(2，2)}， 即集合B中有6个元素． (2)当a＝0时，显然成立； 当a≠0时，Δ＝(－3)2－8a＝0， 9即a＝.
8
b??
(3)因为{1，a＋b，a}＝?0，a，b?，a≠0，
?
?
b
所以a＋b＝0，则＝－1，
a所以a＝－1，b＝1. 所以b－a＝2.
【答案】 (1)C (2)D (3)2
与集合中的元素有关问题的求解步骤
1．(2020·温州八校联考)已知集合M＝{1，m＋2，m2＋4}，且5∈M，则m的值为( ) A．1或－1 C．－1或3
B．1或3 D．1，－1或3
解析：选B.因为5∈{1，m＋2，m2＋4}，所以m＋2＝5或m2＋4＝5，即m＝3或m＝±1.当m＝3时，M＝{1，5，13}；当m＝1时，M＝{1，3，5}；当m＝－1时，不满足互异性．所
以m的值为3或1.
2．已知集合A＝{x|x∈Z，且
3
∈Z}，则集合A中的元素个数为________． 2－x
3
解析：因为∈Z，所以2－x的取值有－3，－1，1，3，又因为x∈Z，所以x的值
2－x分别为5，3，1，－1，故集合A中的元素个数为4.
答案：4
集合的基本关系
(1)(2020·浙江省绿色联盟联考)已知A?B，A?C，B＝{2，0，1，8}，C＝{1，9，
3，8}，则集合A可以为( )
A．{1，8} B．{2，3} C．{0} D．{9}
(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B?A，则实数m的取值范围为________．
【解析】 (1)因为A?B，A?C，所以A?{B∩C}＝{1，8}，故选A. (2)因为B?A，
所以①若B＝?，则2m－1 ②若B≠?，则?m＋1≥－2， ??2m－1≤5.解得2≤m≤3. 由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为m≤3. 【答案】 (1)A (2)(－∞，3] 1．(变条件)在本例(2)中，若A?B，如何求解？ ??m＋1≤－2， 解：若A?B，则? ?2m－1≥5，???m≤－3， 即? ?m≥3.? 所以m的取值范围为?. 2．(变条件)若将本例(2)中的集合A改为A＝{x|x<－2或x>5}，如何求解？ 解：因为B?A， 所以①当B＝?时，即2m－1 ?m＋1≤2m－1，?②当B≠?时，? ??m＋1>5
2021届浙江新高考数学一轮复习：第一章 1 第1讲 集合及其运算
