2021年清华大学领军计划自主招生数学试题（问卷）
2021年清华大学领军计划自主招生数学试题
说明：本试卷共30小题，共100分。在每小题给出的四个选项中，有一个或多个选项是符合题目要求的。选不选对，得满分；选对但不全的，得部分分；有选错的，得0分。
112?2??? （ ），则 ?isin1?z1?z23313 A.0 B.1 C. D.
222.设{an}为等差数列，p,q,k,l为正整数，则“p?q?k?l”是“ap?aq?ak?al”的（ ）
1.设复数z?cosA.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.设A,B是抛物线y?x上的两点，O是坐标原点，若OA?OB，则 （ ） A.|OA|?|OB|?2 B.|OA|?|OB|?22
C.直线AB过抛物线y?x的焦点 D.O到直线AB的距离小于等于1 4.设函数f(x)的定义域为(?1,1)，且满足：①f(x)?0,x?(?1,0)； ②
f(x)?f(y)?f(22x?y),x,y?(?1,1)。则f(x)为 （ ） 1?xyA.奇函数 B.偶函数 C.减函数 D.有界函数 5.如图，已知直线y?kx?m与曲线y?f(x) 相切于两点，则F(x)?f(x)?kx有（ ）
A.2个极大值点 B.3个极大值点 C.2个极小值点 D.3个极小值点 6.?ABC的三边长分别为a,b,c。若c?2,?C??3， 且sinC?sin(B?A)?2sin2A?0，则（ ） A.b?2a B.?ABC的周长为2?23
2323 D.?ABC的外接圆半径为 332x7.设函数f(x)?(x?3)e，则 （ ） A.f(x)有极小值，但无最小值 B.f(x)有极大值，但无最大值 6 C.若方程f(x)?b恰有一个实根，则b?3 e6D.若方程f(x)?b恰有三个不同实根，则0?b?3
e2222228.已知A?{(x,y)|x?y?r},B?{(x,y)|(x?a)?(y?b)?r}，已知 AB?{(x1,y1),(x2,y2)}，则 （ ）
C.?ABC的面积为222A.0?a?b?2r B.a(x1?x2)?b(y1?y2)?0 22C.x1?x2?a,y1?y2?b D.a?b?2ax1?2by1
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9.已知非负实数x,y,z满足4x?4y?z?2z?3，则5x?4y?3z的最小值为 （ ） A.1 B.2 C.3 D.4 10.设数列{an}的前n项和为Sn，若对任意正整数n，总存在正整数m，使得Sn?am，则（ ） A.{an}可能为等差数列 B.{an}可能为等比数列 1
222C.{an}的任意一项均可写成{an}的两项之差 D.对任意正整数n，总存在正整数m，使得an?Sm
11.运动会上，有6名选手参加100米比赛，观众甲猜测：4道或5道的选手得第一名；观众乙猜测：3道的选手不可能得第一名；观众丙猜测：1，2，6道选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4，5，6道的选手都不可能获得第一名。比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是 （ ） A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 12.长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB?2,AD?AA1?1，则A到平面A1BD的距离为（ ） A.
13 B.23 C.262 D.3
13.设不等式组??|x|?|y|?2?2?k(x?1)所表示的区域为D，其面积为S，则 （ ?yA.若S?4，则k的值唯一 B.若S?12，则k的值有2个 C.若D为三角形，则0?k?23 D.若D为五边形，则k?4
14.?ABC的三边长是2,3,4，其外心为O，则OA?AB?OB?BC?OC?CA? （ A.0 B.?15 C.?21292 D.?2
15.设随机事件A与B相互独立，且P(B)?0.5,P(A?B)?0.2，则 （ A.P(A)?0.4 B.P(B?A)?0.3 C.P(AB)?0.2 D.P(A?B)?0.916.过?ABC的重心作直线将?ABC分成两部分，则这两部分的面积之比为 （ A.最小值为34 B.最小值为4455 C.最大值为3 D.最大值为4
17.从正十五边形的顶点中选出3个构成钝角三角形，则不同的选法有 （ A.105种 B.225种 C.315种 D.420种 18.已知存在实数r，使得圆周x2?y2?r2上恰好有n个整点，则n可以等于 （ A.4 B.6 C.8 D.12 19.设复数z满足2|z|?|z?1|，则 （ A.|z|的最大值为1 B.|z|的最小值为13 C.z的虚部的最大值为
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23 D.z的实部的最大值为13 20.设m,n是大于零的实数，向量a?(mcos?,msin?),b?(ncos?,nsin?)，其中
11?,??[0,2?)。定义向量a2?(mcos??2,msin?2),b2?(ncos?2,nsin2)，记?????，则 （ 1111A.a2?a2?a B.a2?b2?mncos?2 11C.|a2?b2|2?4mnsin2?11 D.|a2?b2|2?4mncos2?44 2 ） ） ） ） ） ） ） ）
21.设数列{an}满足：a1?6,an?1?n?3 an，则 （ ） n*3*A.?n?N,an?(n?1) B.?n?N,an?2021
**C.?n?N,an为完全平方数 D.?n?N,an为完全立方数 22.在极坐标系中，下列方程表示的图形是椭圆的有 （ ） 1111 B.?? C.?? D.??
cos??sin?2?sin?2?cos?2?2sin?sin?x23.设函数f(x)?2，则 （ ） x?x?14A.f(x)? B.|f(x)|?|5x|
3C.曲线y?f(x)存在对称轴 D.曲线y?f(x)存在对称中心
24.?ABC的三边长分别为a,b,c，若?ABC为锐角三角形，则 （ ） 222333A.sinA?cosB B.tanA?cotB C.a?b?c D.a?b?c 25.设函数f(x)的定义域是(?1,1)，若f(0)?f? (0)?1，则存在实数??(0,1)，使得（ ）A.f(x)?0,x?(??,?) B.f(x)在(??,?)上单调递增 C.f(x)?1,x?(0,?) D.f(x)?1,x?(??,0)
26.在直角坐标系中，已知A(?1,0),B(1,0)。若对于y轴上的任意n个不同点P1,P2,...,Pn，总存
1在两个不同点Pi,Pj，使得|sin?APiB?sin?APjB|?，则n的最小值为 （ ）
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