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第十二章 辅助圆
模型1 共端点，等线段模型 CO
BAAOCBAOCB
3
图图2 图1
模型分析
（1）若有共端点的三条等线段，可考虑构造辅助圆；
（2）构造辅助圆是方便利用圆的性质快速解决角度问题。
模型实例
例1．如图，△ABC和△ACD都是等腰三角形，AB=AC，AC=AD，连接BD。 求证：∠1+∠2=90°。
A
D 12B
C
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1．如图，△ABC为等腰三角形，AB=AC，在△ABC的外侧作直线AP，点B与点D关于AP轴对称，连接BD、CD，CD与AP交于点E。求证：∠1=∠2。 A
1
D E 2
CBP2．已知四边形ABCD，AB∥CD，且AB=AC=AD=a，
BC=b，且2a>b，求BD的长。
CD
B A
1
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模型2 直角三角形共斜边模型
C CD D BBAAO
图1
C C
AB AOB 图2DD
模型分析
（1）共斜边的两个直角三角形，同侧或异侧，都会得到四点共圆；
（2）四点共圆后可以根据圆周角定理得到角度相等，完成角度等量关系的转化，是证明角相等重要的途径之一。
模型实例
例1．如图，AD、BE、CF为△ABC的三条高，H为垂心，问： （1）图中有多少组四点共圆；
A（2）求证：∠ADF=∠ADE。
F
EH
CBD
2
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例2．如图，E是正方形ABCD的边AB上的一点，过点E作DE的垂线交 ∠ABC的外角平分线于点F。求证：EF=DE。
DC
F
AEB
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1．如图，锐角△ABC中，BD、CE是高线，DG⊥CE于G，EF⊥BD于F。 求证：FG∥BC。
A
E
D
FG
C B
2．如图，BE、CF为△ABC的高，且交于点H，连接AH并延长交BC于点D。 求证：AD⊥BC。
A
F
E
H
CB D
3
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3．如图，等边△PQR内接于正方形ABCD，其中点P、Q、R分别在边AD、AB、 DC上，M是QR的中点。求证：不论等边△PQR怎样运动，点M为不动点。
P AD
RQ
CB
4．如图，已知△ABC中，AH是高，AT是角平分线，且TD⊥AB，TE⊥AC。 求证：∠AHD=∠AHE。
A
DEBTHC
4
第十二章 辅助圆模型(初中数学)
