第3章 刚体力学习题解答
3.13 某发动机飞轮在时间间隔t内的角位移为
??at?bt3?ct4(?:rad,t:s)。求t时刻的角速度和角加速度。
解：??d?dt?a?3bt2?4ct3??d?dt?6bt?12ct2
3.14桑塔纳汽车时速为166km/h，车轮滚动半径为0.26m，发动机转速与驱动轮转速比为0.909, 问发动机转速为每分多少转？
解：设车轮半径为R=0.26m，发动机转速为n1, 驱动轮转速为n2, 汽车速度为v=166km/h。显然，汽车前进的速度就是驱动轮边缘的线速度，
v?2?Rn2?2?Rn1/0.909，所以：
43v0.909?166?10 n1?0.2909?R?2?3.14?0.26?9.24?10rev/h?1.54?10rev/min3
3.15 如题3-15图所示，质量为m的空心圆柱体，质量均匀分布，其内外半径为r1和r2，求对通过其中心轴的转动惯量。
解：设圆柱体长为h ，则半径为r，厚为dr的薄圆筒的质量dm为：
dm?h?2?.r.dr
对其轴线的转动惯量dIz为
dIz?r2dm?h?2?.r3.dr
r2 Iz?h??2?.r.r2dr?r11m(r22?r12) 23.17 如题3-17图所示，一半圆形细杆，半径为 求对过细杆二端
轴的转动惯量。
，质量为 ，
解：如图所示，圆形细杆对过O轴且垂直于圆形细杆所在平面的轴的转动惯量为mR2，根据垂直轴定理Iz?Ix?Iy和问题的对称性知：圆形细杆对过
轴的转动惯量为
1mR2，由转2动惯量的可加性可求得：半圆形细杆对过细杆二端
轴的转动惯量为：IAA??1mR2 4请浏览后下载，资料供参考，期待您的好评与关注！
3.18 在质量为M，半径为R的匀质圆盘上挖出半径为r的两个圆孔，圆孔中心在半径R的中点，求剩余部分对过大圆盘中心且与盘面垂直的轴线的转动惯量。
解：大圆盘对过圆盘中心o且与盘面垂直的轴线（以下简称o轴）的转动惯量为
2 I?12MR.由于对称放置，两个小圆盘对o轴的转动惯量相
等，设为I’，圆盘质量的面密度σ=M/πR2，根据平行轴定理，
222R2I'?1(??r)r?(??r)(22)?Mr42R22 ?1Mr4设挖去两个小圆盘后，剩余部分对o轴的转动惯量为I”
Mr22224211 I\?I?2I'?12MR?R2?2Mr?2M(R?r?2r/R)43.19一转动系统的转动惯量为I=8.0kgm2，转速为ω=41.9rad/s，两制动闸瓦对轮的压
力都为392N，闸瓦与轮缘间的摩擦系数为μ=0.4，轮半径为r=0.4m，问从开始制动到静止需多长时间？
解：由转动定理：
M?I?,
I8.0制动过程可视为匀减速转动，????/?t ?t???/??41.9/15.68?2.67s
??M?2?0.4?392?0.4?15.68rad/s
3.20一轻绳绕于r=0.2m的飞轮边缘，以恒力 F=98N拉绳，如题3-20图（a）所示。已知飞轮的转动惯量 J=0.5kg.m2，轴承无摩擦。求 （1）飞轮的角加速度。
（2）绳子拉下5m时，飞轮的角速度和动能。
（3）如把重量 P=98N的物体挂在绳端，如题3-20图（b）所示，再求上面的结果。
解 （1）由转动定理得：
Mr?F0.2?98?????39.2rad?s?2
II0.5（2）由定轴转动刚体的动能定理得：A?Ek? ??2Ek?I12I? Ek?F?h=490J 22?490?44.27rad?s?1 0.5（3）物体受力如图所示：
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?P?T?ma??解方程组并代入数据得： ?rT??J????a?r?T?T???Prg98?9.8?0.2?2??21.78rad?s 22Pr?Jg98?0.2?0.5?9.8A?Ek?11P2212?P?J?2??r???J?r2??Ph 22g2?g???2Ph2*98*5?1 ??33.15rad?s2P20.5?9.8*0.2J?rg11J?2?*0.5*33.152?274.7J 223.21现在用阿特伍德机测滑轮转动惯量。用轻线且尽可能润滑轮轴。两端悬挂重物质量各为m1=0.46kg，m2=0.5kg，滑轮半径为0.05m。自静止始，释放重物后并测得0.5s内m2下降了0.75m。滑轮转动惯量是多少？ 解：
隔离m2、m1及滑轮，受力及运动情况如图所示。对m2、m1分别应用牛顿第二定律：
Ek?m2g?T2?m2a(1);T1?m1g?m1a(2)
对滑轮应用转动定理：
(T2?T1)R?I??Ia/R （3）
2at质点m2作匀加速直线运动，由运动学公式：?y?1， 2?a?2?y/t2?2?0.75/5.02?0.06m/s2
由 ⑴、⑵可求得 T2?T1?(m2?m1)g?(m2?m1)a,代入（3）中，可求得
I?[(m2?m1)g/a?(m2?m1)]R2，代入数据：
I?(0.04?9.8/0.06?0.96)?0.052?1.39?10?2kgm2
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3.22质量为m，半径为 水平面的动摩擦因数为
的均匀圆盘在水平面上绕中心轴转动，如题3-22图所示。盘与，圆盘的初角速度为?0，问到停止转动，圆盘共转了多少圈？
解： I?1mR2 2如图所示：dm?2??rdr dM??r?gdm
R2M??dM???r?gdm???g2???r2dr??mg?R
030??2d?d?d?d?1 得： mR2??d?????J?J??mgR?d?
?00dtd?dtd?23由转动定律：M=J3R?02积分得： ???
8?g3R?02所以从角速度为?0到停止转动，圆盘共转了圈。
16??g3.23如图所示，弹簧的倔强系数k=2N/m,可视为圆盘的滑轮半径r=0.05m，质量m1=80g，设弹簧和绳的质量可不计，绳不可伸长，绳与滑轮间无相对滑动，运动中阻力不计，求1kg质量的物体从静止开始（这时弹簧不伸长）落下1米时，速度的大小等于多少（g取10m/s2）
解：以地球、物体、弹簧、滑轮为系统，其能量守恒物
体地桌面处为重力势能的零点，弹簧的原长为弹性势能的零点，
则有：
112?122mv?J??kx?m1gh?0??222?
12?v?r?J?mrx?h??2解方程得：v?2m1gh?kh2m1?m/2 代入数据计算得：v=1.48m/s 。
即物体下落0.5m的速度为1.48m/s
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3.24如题3-24图所示，均质矩形薄板绕竖直边转动，初始角速度为?0，转动时受到空气的阻力。阻力垂直于板面，每一小面积所受阻力的大小与其面积及速度平方的乘积成正比，比例常数为k。试计算经过多少时间，薄板角速度减为原来的一半，设薄板竖直边长为b，宽为a，薄板质量为m。
解；如图所示，取图示的阴影部分为研究对象
v?x? df?kv2dS?kx2?2bdx
dM?x?df?k?2bx3dx
1M??dM??k?2bx3dx?k?2ba4
400d?d?4J dt?JM?J?d? t?24dtMk?ba?0/2aa?0?4Jd?4J4m ??4242kba?kba?03kba?0所以经过
4m的时间，薄板角速度减为原来的一半。 23kba?03-25一个质量为M，半径为 R并以角速度?旋转的飞轮（可看作匀质圆盘），在某一瞬间突破口然有一片质量为m的碎片从轮的边缘上飞出，见题3-25图。假定碎片脱离飞轮时的瞬时速度方向正好竖直向上， （1）问它能上升多高？
（2）求余下部分的角速度、角动量和转动动能。
2v0R2?2?解：（1）碎片以R?的初速度竖直向上运动。上升的高度：h? 2g2g （2）余下部分的角速度仍为 ?
1角动量 L?J??(M?m)R2?
211转动动能 Ek?(M?m)R2?2
22
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大学物理第3章刚体力学习题解答
