2021年高中数学典型例题解析导数及其应用之令狐文艳创作

令狐文艳创作

三、经典例题导讲

令狐文艳

[例1]已知y?(1?cos2x)2,则y??.

错因：复合函数求导数计算不熟练,其2x与x系数不一样也是一个复合的过程,有的同学忽视了,导致错解为:y???2sin2x(1?cos2x).

正解：设y?u2,u?1?cos2x,则

????y?x?yuux?2u(1?cos2x)?2u?(?sin2x)?(2x)?2u?(?sin2x)?2??4sin2x(1?cos2x)?y???4sin2x(1?cos2x).

?12(x?1)(x?1)??2f(x)??判断

1?(x?1)(x?1)??2[例2]已知函数

f(x)在x=1处是否可

导？

11[(1??x)2?1]?(12?1)2错解：?lim2?1,?f?(1)?1。

?x?0?x分析：分段函数在“分界点”处的导数，须根据定义来判断是否可导 .

11[(1??x)2?1]?(12?1)2解：lim??y?lim?2?1?x?0?x?x?0?x∴ f(x)在x=1处不可导.

注：?x?0?，指?x逐渐减小趋近于0；?x?0?，指?x逐渐增大趋近于0。

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点评：函数在某一点的导数，是一个极限值，即

?x?0limf(x0??x)?f(x0)＋－

，△x→0，包括△x→0，与△x→0，因

?x此，在判定分段函数在“分界点”处的导数是否存在时，要验证其左、右极限是否存在且相等，如果都存在且相等，才能判定这点存在导数，否则不存在导数.

[例3]求y?2x2?3在点P(1,5)和Q(2,9)处的切线方程。错因：直接将P，Q看作曲线上的点用导数求解。

分析：点P在函数的曲线上，因此过点P的切线的斜率就是y?在x?1处的函数值；

点Q不在函数曲线上，因此不能够直接用导数求值，要通过设切点的方法求切线．

解：?y?2x2?3,?y??4x.?y?x?1?4即过点P的切线的斜率为4，故切线为：y?4x?1．设过点Q的切线的切点为T(x0,y0)，则切线的斜率为

4x0，又kPQ?y0?9，x0?22x02?6故?4x0，?2x02?8x0?6?0.?x0?1,3。

x0?2即切线QT的斜率为4或12，从而过点Q的切线为：

点评： 要注意所给的点是否是切点．若是，可以直接采用求导数的方法求；不是则需设出切点坐标．

1x[例4]求证：函数y?x?图象上的各点处切线的斜率小于1，并求出其斜率为0的切线方程.

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分析： 由导数的几何意义知，要证函数y?x?1的图象上各点

x处切线的斜率都小于1，只要证它的导函数的函数值都小于1，因此，应先对函数求导后，再进行论证与求解.

111??1?2?1y?x?,?y解：（1），即对函数定义域内的y?x?xxx任一x，其导数值都小于1，于是由导数的几何意义可知，函数

y?x?1图象上各点处切线的斜率都小于x1.

（2）令1?11?0，得，当时，y?1??2；当x??1x??1x?121x时，y??2，

?曲线y?x?1的斜率为x0的切线有两条，其切点分别为(1,2)与

(?1,?2)，切线方程分别为y?2或y??2。

点评：在已知曲线 y?f(x)切线斜率为k的情况下，要求其切

f(x)的导数值

线方程，需要求出切点，而切点的横坐标就是y?为k时的解，即方程f?(x)?k的解，将方程f?(x)?k的解代入

y?f(x)就可得切点的纵坐标，求出了切点坐标即可写出切线方

程，要注意的是方程f?(x)?k有多少个相异实根，则所求的切线就有多少条.

[例5]已知a?0，函数f(x)?x3?a，x??0,???，设x1?0，记曲线

y?f(x)在点M(x1,f(x1))处的切线为 l .

（1）求l 的方程；

（2）设 l 与 x轴交点为(x2,0)，求证： ①x2?1a3； ②若x1?1a3，则

1a3?x2?x1令狐文艳创作