【答案】1或
【解析】 ∵四边形ABCD是正方形，PF⊥DE， ∴∠A=∠DFP=∠ADC=90°， ∴∠ADE+∠EDP=∠EDP+∠DPF=90°， ∴∠ADE=∠FPD， ∴△ADE∽△FPD. （ 1 ）如图1，
当∠DPE=90°时，易得△FPD∽△FEP，则△ADE∽△FEP， 此时四边形AEPD是矩形， ∴DP=AE=1，
∴t=1，即当t=1时，△ADE∽△FEP； （ 2 ）如图2，
当DP=EP时，易得△FPE≌△FPD，则△FEP∽△ADE， 此时四边形AEHD是矩形， ∴DH=AE=1，HP=x-1，HE=AD=2， ∴PE2
=HE2
+HP2
=PD2
， ∴
，解得：
；
综上所述，当
或 时，以点P、F、E为顶点的三角形与△AED相似.
故答案为：1或 .
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【分析】由题意知，不论点P运动到何处，易证得△ADE∽△FPD，所以只需△FEP与三角形FPD相似或全等即可。由题意可分两种情况：（1）当∠DPE=90°时，易得△ADE∽△FEP，可得比例式求解；（2）当DP=EP时，易得△FPE≌△FPD，则△FEP∽△ADE，于是可得比例式求解。 三、解答题
20.如图，点D在△ABC的边AB上，∠ACD=∠B，AD=6cm，DB=8cm，求：AC的长．
【答案】解：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，∴△ADC∽△ACB，∴
．
= ，即 = ，解得，AC=2
【解析】【分析】∠ACD=∠B，而∠A是公共角，所以根据有两个角相等的两个三角形相似可得△ADC∽△ACB，所以可得比例式
,即
,解得AC=2
.
，AD=1，求DB的长．
21.如图，△ABC中，点D在边AB上，满足∠ACD=∠ABC，若AC=
【答案】解：∵∠ACD=∠ABC， 又∵∠A=∠A， ∴△ABC∽△ACD ， ∴ ∵AC=
， ，AD=1，
∴ ∴AB=3，
，
∴BD= AB﹣AD=3﹣1=2
【解析】【分析】根据已知条件易证得△ABC∽△ACD ，由相似三角形的性质可得比例式知的线段代入即可求解。
,将已
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22.如图，在正方形ABCD中，点G在边BC上（不与点B，C重合），连接AG，作DE⊥AG，于点E，BF⊥AG
于点F，设 。
（1）求证：AE=BF；
（2）连接BE，DF，设∠EDF= ，∠EBF= 求证：
的最大值．
（3）设线段AG与对角线BD交于点H，△AHD和四边形CDHG的面积分别为S1和S2 ， 求
【答案】（1）因为四边形ABCD是正方形，所以∠BAF+∠EAD=90°，又因为DE⊥AG，所以∠EAD+∠ADE=90°， 所以∠ADE=∠BAF， 又因为BF⊥AG， 所以∠DEA=∠AFB=90°， 又因为AD=AB
所以Rt△DAE≌Rt△ABF， 所以AE=BF
（2）易知Rt△BFG∽Rt△DEA，所以 所以ktanβ= 所以
=
=
在Rt△DEF和Rt△BEF中，tanα= =
=tanα
，tanβ=
（3）设正方形ABCD的边长为1，则BG=k，所以△ABG的面积等于 k因为△ABD的面积等于 又因为 所以S2=1- k- 所以
=-k+k+1=
2
=k，所以S1=
=
≤
有最大值
因为0＜k＜1，所以当k= ，即点G为BC中点时，
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质及垂直的定义，可证得∠ADE=∠BAF，∠ADE=∠BAF及AD=AB，利用全等三角形的判定，可证得Rt△DAE≌Rt△ABF，从而可证得结论。
（2）根据已知易证Rt△BFG∽Rt△DEA，得出对应边成比例，再在Rt△DEF和Rt△BEF中，根据锐角三角函数的定义，分别表示出tanα、tanβ，从而可推出tanα=tanβ。
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（3）设正方形ABCD的边长为1，则BG=k，分别表示出△ABG、△ABD的面积，再根据 =k,求
出S1及S2 ， 再求出S1与S2之比与k的函数解析式，求出顶点坐标，然后根据k的取值范围，即可求解。 23.如图，以 的直角边
为直径作
交斜边
于点 ，过圆心 作
，交
于点 ，连接
.
（1）判断 与 的位置关系并说明理由；
（2）求证： ；
（3）若
，
，求
的长.
【答案】（1）解：DE是圆O的切线证明：连接OD
∵OE∥AC
∴∠1=∠3，∠2=∠A ∵OA=OD ∴∠1=∠A ∴∠2=∠3 在△BOE和△DOE中 OE=OD，∠2=∠3，OE=OE ∴△BOE≌△DOE（SAS） ∴∠ODE=∠OBE=90° ∴OD⊥DE
∴DE是圆O的切线
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（2）解：证明：连接BD∵AB是直径 ∴∠BDC=∠ADB=∠ABC=90° ∵OE∥AC，O是AB的中点 ∴OE是△ABC的中位线 ∴AC=2OE
∵∠BDC=∠ABC，∠C=∠C ∴△ABC∽△BDC ∴
∴BC2=2CD?OE ∵BC=2DE， ∴（2DE）=2CD?OE ∴
（3）解：∵ ∵在△BDC中， ∴BC=2DE=5
∴（4x）2+（3x）2=25 解之：x=1，x=-1（舍去） ∴BD=4 ∵∠ABD=∠C ∴AD=BD?tan∠ABD=
设：BD=4x，CD=3x ，
2
【解析】【分析】（1）连接OD，根据平行线的性质及等腰三角形的性质证明∠2=∠3，再证明△BOE≌△DOE，可证出OD⊥DE，即可得证。
（2）连接BD，证明OE是△ABC的中位线，得出AC=2OE，再证明△ABC∽△BDC，得出BC=AC?CD，结合BC=2DE，AC=2OE，即可求证结论。
（3）根据三角函数的定义，BD=4x，CD=3x，先求出BC的长，再根据勾股定理求出x的值，就可得出BD的长，再根据∠ABD=∠C，利用锐角三角函数的定义得出AD=BD?tan∠ABD，即可解答。
2
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2020年中考数学专题复习卷 图形的相似（含解析）
