第九章 无穷级数 第二讲
第二讲 常数项级数审敛法--正项级数及其审敛法
授课题目（章节）：
§11.2 常数项级数审敛法——正项级数及其审敛法
教学目的与要求：
1.了解正项级数收敛的充要条件；
2.会用正项级数的比较审敛法和根值审敛法； 3.掌握正项级数的比值审敛法； 4.掌握p级数的收敛性。 教学重点与难点：
重点：比值审敛法
难点：比较审敛法 讲授内容：
定义 若un?0(n?1,2,......)则称
?un?1?n为正项级数
性质 （1）正项级数的部分和数列?sn?单调递增，即s1?s2?s3? （2）正项级数
?sn?sn?1
?un?1?n收敛的充要条件是部分和数列?sn?有界
证明 （1）
un?0(n?1,2,),sn?1?sn?un?1 ?sn?1?sn （2）若
?un?1?n收敛，则?sn?收敛，故?sn?有界；
若?sn?有界，又?sn?单调递增，故?sn?收敛，从而正项级数审敛法 一、比较法
?un?1?n收敛。
第九章 无穷级数 第二讲
定理1（比较审敛法）
?u,?vnn?1n?1??n均为正项级，
且un?vn(n?1,2,若
)
收敛；若
?vn?1?n收敛，则
?un?1?n?un?1?n发散，则
?vn?1?n发散。
证明 设级数
?vn?1?n收敛于和?，则级数
?un?1?n的部分和
sn?u1?u2??un?v1?v2??vn??
即部分和数列?sn?有界，故级数 反之，设
?un?1?n收敛；
?un?1?n发散，若
?vn?1?n收敛，由上面已证明的结论将有
?un?1?n收敛，与
假设矛盾，故若
?un?1?n发散，则
?vn?1?n发散。
推论
??u,?vnn?1n?1n??n均为正项级数，且un?kvn(n?N,N为自然数，k?0)
若
?vn?1收敛，则
?un?1?n收敛；若
?un?1?n发散，则
?vn?1?n发散。
例1 讨论p?级数1?解 设p?1，则
11??pp23?1?pn的收敛性，其中常数p?0.
11 ?，调和级数发散，故由比较法知，当p?1时，p?级数发散；
npn1,p?1(n?2,3,)
设p?1，可证部分和sn?1? 即数列?sn?有界，故当p?1时，p?级数收敛。
比较法的步骤：（1）选取参照级数（2）推测收敛性（3）证明结论 例2判定下列级数的收敛性
第九章 无穷级数 第二讲
???sin2nn11（1）?3 （2）? （3）? （4） ?n2ln(1?n)n?1n(n?1)n?1n?1n?1n?1??1nn1解 （1）un?3，又收敛，故原级数收敛 ?3??2nn?1n?n32n2n?1?1111??，又?发散，故原级数发散 （2）un?n(n?1)n?nnn?1n?sin2n11? （3）un?，又收敛，故原级数收敛 ?n22n2nn?1?111?，又?发散，故原级数发散 （4）un?ln(n?1)nn?1n定理2 （比较法的极限形式）
?un,?vn均为正项级，l?limn?1n?1??un n??vnn（1）若l为正数，则
?u,?vnn?1n?1?n??的收敛性相同；
（2）若l?0，则当
?vn?1?收敛时，必有
?un?1??n收敛；
（3）若l???，则当
?vn?1n发散时，必有
?un?1n发散。
例3 由比较法的极限形式，判定下列级数的收敛性 （1）
?n?1???1 （2）?n?1(1?cos)
nn(n?1)n?1解 （1）limn??1n(n?1)n?lim?1 n??1n(n?1)n 又
1发散，故原级数发散 ?nn?1? （2）1?cos?n2sin2?2n?22n2(n??)
第九章 无穷级数 第二讲
所以取参照级数为
?nn?1?132
?3un1?122 因为lim?limnn?1(1?cos)??，又级数?3收敛，故原级数收敛
n??1n??2n2n?1nn2二、比值法 定理3
3?un为正项级数，??limn?1?un?1
n??un（1）若??1，则
?un?1?n收敛；
（2）若??1或为??，则
?un?1?n发散；
（3）若??1，则
?un?1?n可能收敛可能发散。
例4 由比值法判定下列级数的收敛性
?2n1（1）? （2）?nsinn
3n?1nn?1?un?12n?1n解 （1）lim?lim??2?1，故级数发散
n??un??n?12nnun?1?limn??un??n(n?1)sin113n?1?lim3n?1?1?1，故级数收敛
n??113nsinn33n （2）lim2nn!2n??0 例5 证明 limncosn??n5?2nn!2n?证明 设un?ncos，只须证正项级数?un收敛
n5n?12nn!2n?2nn!?n?vn 因为un?ncosn5n
第九章 无穷级数 第二讲
vn?12n?1(n?1)!nn2 又lim?lim???1 nn??vn??(n?1)(n?1)2n!en 所以由比值法知
?vn?1?n收敛，故
?un?1?n收敛
2nn!2n??0 由收敛的必要条件可知limncosn??n5三、根值法 定理4
?un?1?n为正项级数，??limnun n??（1）若??1，则
?un?1?n收敛；
（2）若??1或为??，则
?un?1?n发散；
（3）若??1，则
??un?1?n可能收敛可能发散。
例6 判定
1级数的收敛性 ?n(lnn)n?1解 limnun?limn??1?0?1，故级数收敛
n??lnn课外作业：P206-4
高数 第十一章 无穷级数第二讲 常数项级数审敛法--正项级数
