1 -1 质点作曲线运动,在时刻t 质点的位矢为r,速度为v ,速率为 至(t ＋Δt)时间内的位移为Δr, 路程为Δs, 位矢大小的变化量为Δr ( 或称Δ｜r｜),平均速度为v,平均速率为v．
(1) 根据上述情况,则必有( ) (A) ｜Δr｜= Δs = Δr
(B) ｜Δr｜≠ Δs ≠ Δr,当Δt→0 时有｜｜= ≠ (C) ｜Δr｜≠ Δr ≠ Δs,当Δt→0 时有｜｜= ≠ (D) ｜Δr｜≠ Δs ≠ Δr,当Δt→0 时有｜｜= = (2) 根据上述情况,则必有( )
(A) ｜v｜= v,｜v｜= v (B) ｜v｜≠v,｜v｜≠ v
(C) ｜v｜= v,｜v｜≠ v (D) ｜v｜≠v,｜v｜= v
分析与解 (1) 质点在t 至(t ＋Δt)时间内沿曲线从P 点运动到P′点,各量关系如图所示, 其中路程Δs ＝′, 位移大小｜Δr｜＝′,而Δr ＝｜r｜-｜r｜表示质点位矢大小的变化量,三个量的物理含义不同,在曲线运动中大小也不相等(注：在直线运动中有相等的可能)．但当Δt→0 时,点P′无限趋近P点,则有｜｜＝,但却不等于．故选(B)．
(2) 由于｜Δr ｜≠Δs,故ΔrΔt?Δs,即｜v｜≠v． Δt但由于｜｜＝,故drdt?ds,即｜v｜＝v．由此可见,应选(C)． dt1 -2 一运动质点在某瞬时位于位矢r()的端点处,对其速度的大小有四种意见,即
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(1)drdt； (2)
drdt；
(3)dsdt； (4)
?dx??dy???????dt??dt?22．
下述判断正确的是( )
(A) 只有(1)(2)正确 (B) 只有(2)正确 (C) 只有(2)(3)正确 (D) 只有(3)(4)正确 分析与解
drdt表示质点到坐标原点的距离随时间的变化率,
在极坐标系中叫径向速率．通常用符号表示,这是速度矢量在位矢方向上的一个分量；dr表示速度矢量；在自然坐标系中速度大
dt小可用公式
?dx??dy?v???????dt??dt?22v?dsdt计算,在直角坐标系中则可由公式
求解．故选(D)．
1 -3 质点作曲线运动 表示位置矢量, v表示速度表示加速度 表示路程, aｔ表示切向加速度．对下列表达式,即
(1)d v ＝a；(2) ＝v；(3) ＝v；(4)d v ｜＝aｔ． 下述判断正确的是( )
(A) 只有(1)、(4)是对的 (B) 只有(2)、(4)是对的 (C) 只有(2)是对的 (D) 只有(3)是对的
分析与解
dvdt表示切向加速度aｔ,它表示速度大小随时间
的变化率,是加速度矢量沿速度方向的一个分量,起改变速度大小的作用；dr在极坐标系中表示径向速率(如题1 -2 所述)；dsdtdt在自然坐标系中表示质点的速率v；而dv表示加速度的大小而不
dt是切向加速度aｔ．因此只有(3) 式表达是正确的．故选(D)． 1 -4 一个质点在做圆周运动时,则有( )
(A) 切向加速度一定改变,法向加速度也改变 (B) 切向加速度可能不变,法向加速度一定改变 (C) 切向加速度可能不变,法向加速度不变 (D) 切向加速度一定改变,法向加速度不变
分析与解 加速度的切向分量aｔ起改变速度大小的作用,而法向分量起改变速度方向的作用．质点作圆周运动时,由于速度方向不断改变,相应法向加速度的方向也在不断改变,因而法向
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加速度是一定改变的．至于aｔ是否改变,则要视质点的速率情况而定．质点作匀速率圆周运动时, aｔ恒为零；质点作匀变速率圆周运动时, aｔ为一不为零的恒量,当aｔ改变时,质点则作一般的变速率圆周运动．由此可见,应选(B)．
*1 -5 如图所示,湖中有一小船,有人用绳绕过岸上一定高度处的定滑轮拉湖中的船向岸边运动．设该人以匀速率v0 收绳,绳不伸长且湖水静止,小船的速率为v,则小船作( )
(A) 匀加速运动,v?v0 cosθ(B) 匀减速运动,v?v0cosθ (C) 变加速运动,v?v0 cosθ(D) 变减速运动,v?v0cosθ (E) 匀速直线运动,v?v0
分析与解 本题关键是先求得小船速度表达式,进而判断运动性质．为此建立如图所示坐标系,设定滑轮距水面高度为 时刻定滑轮距小船的绳长为l,则小船的运动方程为x?l2?h2,其中
dldx绳长l 随时间t 而变化．小船速度v??2dt2dtl?hl,式中dl表示绳
dt长l 随时间的变化率,其大小即为v0,代入整理后为
v?v0l?h/l22?v0cosθ,方向沿x 轴负向．由速度表达式,可判断小船
作变加速运动．故选(C)．
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讨论 有人会将绳子速率v0按x、y 两个方向分解,则小船速度v?v0cosθ,这样做对吗？
1 -6 已知质点沿x 轴作直线运动,其运动方程为x?2?6t2?2t3,式中x 的单位为 的单位为 s．求：
(1) 质点在运动开始后4.0 s内的位移的大小； (2) 质点在该时间内所通过的路程； (3) t＝4 s时质点的速度和加速度．
分析 位移和路程是两个完全不同的概念．只有当质点作直线运动且运动方向不改变时,位移的大小才会与路程相等．质点在t 时间内的位移Δx 的大小可直接由运动方程得到：Δx?xt?x0,而在求路程时,就必须注意到质点在运动过程中可能改变运动方向,此时,位移的大小和路程就不同了．为此,需根据dx?0来确定
dt其运动方向改变的时刻 ,求出0～ 和～t 内的位移大小Δx1 、Δx2 ,则t 时间内的路程s??x1??x2,如图所示,至于t ＝4.0 s
d2xdx时质点速度和加速度可用和2两式计算．
dtdt解 (1) 质点在4.0 s内位移的大小Δx?x4?x0??32m (2) 由 dx?0
dt得知质点的换向时刻为tp?2s (t＝0不合题意)
则Δx1?x2?x0?8.0m Δx2?x4?x2??40m
所以,质点在4.0 s时间间隔内的路程为s?Δx1?Δx2?48m (3) t＝4.0 s时
v?dx??48m?s?1 dtt?4.0sd2xa?2??36m.s?2 dtt?4.0s1 -7 一质点沿x 轴方向作直线运动,其速度与时间的关系如图(a)所示．设t＝0 时＝0．试根据已知的 图,画出 图以及x 图．
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分析 根据加速度的定义可知,在直线运动中曲线的斜率为加速度的大小(图中、 段斜率为定值,即匀变速直线运动；而线段 的斜率为0,加速度为零,即匀速直线运动)．加速度为恒量,在 图上是平行于t 轴的直线,由 图中求出各段的斜率,即可作出 图线．又由速度的定义可知 曲线的斜率为速度的大小．因此,
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物理学答案（第五版-上册）马文蔚汇总
