压轴题25套
一、解答题
1．（2010年广州中考数学模拟试题一）如图，以O为原点的直角坐标系中，A点的坐标为（0，1），直线x=1交x轴于点B。P为线段AB上一动点，作直线PC⊥PO，交直线x=1于点C。过P点作直线MN平行于x轴，交y轴于点M，交直线x=1于点N。 （1）当点C在第一象限时，求证：△OPM≌△PCN；
（2）当点C在第一象限时，设AP长为m，四边形POBC的面积为S，请求出S与m间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）当点P在线段AB上移动时，点C也随之在直线x=1上移动，△PBC是否可能成为等腰三角形？如果可能，求出所有能使△PBC成为等腰直角三角形的点P的坐标；如果不可能，请说明理由。
答案：（1）∵OM∥BN，MN∥OB，∠AOB=90， ∴四边形OBNM为矩形。 ∴MN=OB=1,∠PMO=∠CNP=90 ∵
0
0
y x=1 A M P N AMPM，AO=BO=1， ?AOBOO 第1题图
0
C x B ∴AM=PM。
∴OM=OA-AM=1-AM，PN=MN-PM=1-PM， ∴OM=PN， ∵∠OPC=90， ∴∠OPM+CPN=90
又∵∠OPM+∠POM=90 ∴∠CPN=∠POM，
∴△OPM≌△PCN. （2）∵AM=PM=APsin45=
00
0，
2m， 2 ∴NC=PM=
22m，∴BN=OM=PN=1-m；
2222m-m=1?2m
22 ∴BC=BN-NC=1-
（3）△PBC可能为等腰三角形。 ①当P与A重合时，PC=BC=1，此时P（0，1） ②当点C在第四象限，且PB=CB时， 有BN=PN=1-
2m， 2 ∴BC=PB=2PN=2-m，
∴NC=BN+BC=1-
2m+2-m， 22m， 2 由⑵知：NC=PM=
∴1-
22m+2-m=m， ∴m=1. 222222m=m=1-，BN=1-， 222222,1-）.
2222,1-）
222
2
∴PM=
∴P（∴使△PBC为等腰三角形的的点P的坐标为（0，1）或（
2. （2010年广州中考数学模拟试题(四)）关于x的二次函数y＝-x＋(k-4)x＋2k-2以y轴为对称轴，且与y轴的交点在x轴上方．
(1)求此抛物线的解析式，并在直角坐标系中画出函数的草图；
(2)设A是y轴右侧抛物线上的一个动点，过点A作AB垂直x轴于点B，再过点A作x轴的平行线交抛物线于点D，过D点作DC垂直x轴于点C, 得到矩形ABCD．设矩形ABCD的周长为l，点A的横坐标为x，试求l关于x的函数关系式；
(3)当点A在y轴右侧的抛物线上运动时，矩形ABCD能否成为正方形．若能，请求出此时正方形的周长；若不能，请说明理由．
答案：(1)根据题意得：k-4＝0，
∴k＝±2 .
当k＝2时，2k-2＝2＞0,
[来源:Z。xx。k.Com]2
D1 C2 C1 y 当k＝－2时，2k-2＝-6＜0. 又抛物线与y轴的交点在x轴上方, ∴k＝2 .
∴抛物线的解析式为：y＝-x＋2.
D2 A2 2
A1 B2 B1 x 函数的草图如图所示：
(2)令-x＋2＝0，得x＝±2.
第2题图 当0＜x＜2时，A1D1＝2x，A1B1＝-x＋2 ∴l＝2(A1B1＋A1D1)＝-2x＋4x＋4.
当x＞2时，A2D2＝2x,A2B2＝-(-x＋2)＝x-2, ∴l＝2(A2B2＋A2D2)＝2x＋4x-4. ∴l关于x的函数关系式是：
[来源:学_科_网Z_X_X_K]2
2
2
22
2
2???2x＋4x＋4(0＜x＜2) l??2??2x＋4x－4(x＞2)
(3)解法①：当0＜x＜2时，令A1B1＝A1D1,得x＋2x－2＝0. 解得x=-1-3(舍)，或x=-1＋3.
将x=-1＋3代入l=-2x＋4x＋4,得l=83-8, 当x＞2时，A2B2=A2D2 得x-2x-2=0,
解得x=1-3(舍)，或x=1＋3, 将x=1＋3代入l=2x＋4x-4, 得l=83＋8.
综上所述，矩形ABCD能成为正方形，且当x=-1＋3时，正方形的周长为83-8；当x=1＋3时，正方形的周长为83＋8．
解法②：当0＜x＜2时，同“解法①”可得x=-1＋3, ∴正方形的周长l=4A1D1=8x=83-8 .
2
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2
2
当x＞2时，同“解法①”可得x=1＋3, ∴正方形的周长l=4A2D2=8x=83＋8 .
综上所述，矩形ABCD能成为正方形，且当x=-1＋3时，正方形的周长为83－8；当x=1＋3时，正方形的周长为83＋8．
解法③：∵点A在y轴右侧的抛物线上, ∴当x＞0时，且点A的坐标为(x，-x＋2). 令AB＝AD，则?x2?2=2x,
∴-x＋2=2x, ① 或-x＋2=-2x, ② 由①解得x=-1-3(舍)，或x=-1＋3, 由②解得x=1-3(舍)，或x=1＋3. 又l=8x,∴当x=-1＋3时，l=83-8； 当x=1＋3时，l=83＋8.
综上所述，矩形ABCD能成为正方形，且当x=-1＋3时，正方形的周长为83-8；当x=1＋3时，正方形的周长为83＋8．
3.（2010年河南省南阳市中考模拟数学试题）如图所示, 在平面直角坐标系xoy中, 矩形OABC的边长OA、OC分别为12cm、6cm, 点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上, 抛物线y=ax+bx+c经过点A、B, 且18a + c = 0. (1)求抛物线的解析式.
(2)如果点P由点A开始沿AB边以1cm/s的速度向终点B移动, 同时点Q由点B开始沿BC边以2cm/s的速度向终点C移动.
①移动开始后第t秒时, 设△PBQ的面积为S, 试写出S与t之间的函数关系式, 并写出t的取值范围.
②当S取得最大值时, 在抛物线上是否存在点R, 使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形? 如果存在, 求出R点的坐标, 如果不存在, 请说明理由.
答：（1）设抛物线的解析式为y?ax?bx?c，
由题意知点A（0，-12），所以c??12，
2222
2
第3题图
又18a+c=0，a?2, 3b?3. 2a22x?4x?12. 3∵AB∥CD,且AB=6, ∴抛物线的对称轴是x??∴b??4.
所以抛物线的解析式为y?（2）①S?1?2t?(6?t)??t2?6t??(t?3)2?9，?0?t?6?. 2②当t?3时，S取最大值为9。这时点P的坐标（3，-12），点Q坐标（6，-6）. 若以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形，有如下三种情况： （Ⅰ）当点R在BQ的左边，且在PB下方时，点R的坐标（3，-18）， 将（3，-18）代入抛物线的解析式中，满足解析式，所以存在， 点R的坐标就是（3，－18）；
（Ⅱ）当点R在BQ的左边，且在PB上方时，点R的坐标（3，-6）， 将（3，-6）代入抛物线的解析式中，不满足解析式，所以点R不满足条件. （Ⅲ）当点R在BQ的右边，且在PB上方时，点R的坐标（9，-6）， 将（9，-6）代入抛物线的解析式中，不满足解析式，所以点R不满足条件. 综上所述，点R坐标为（3，-18）.
4．(2010年江西省统一考试样卷)已知二次函数y=x＋bx＋c与x轴交于A（－1，0）、B（1，0）两点.
（1）求这个二次函数的关系式；
（2）若有一半径为r的⊙P，且圆心P在抛物线上运动，当⊙P与两坐标轴都相切时，求半径r的值.
[来源:Z§xx§k.Com]2
（3）半径为1的⊙P在抛物线上，当点P的纵坐标在什么范围内取值时，⊙P与y轴相离、相交？
答案：解：（1）由题意，得??1?b?c?0,?b?0, 解得?
?1?b?c?0.?c??1.2
∴二次函数的关系式是y=x－1．
（2）设点P坐标为（x，y），则当⊙P与两坐标轴都相切时，有y=±x． 由y=x，得x－1=x，即x－x－1=0，解得x=2
2
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中考数学压轴题25套
