第三章一阶微分方程的解的存在定理(）
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第三章 一阶微分方程的解的存在定理
研究对象
初值问题（Ｃauｃｈy Proｂｌem)
?dy (3.1)??f(x,y) ?dx? (3.2)?y(x0)?y0 1 基本概念
１）利普希兹(Ｌipschｉtｚ)条件
函数f(x,y)称为在闭矩形区域 D:x?x0?a,y?y0?b上关于y满足利普希兹条件,如果存在常数L?0使得不等式
f(x,y1)?f(x,y2)?Ly1?y2
对所有(x,y1),(x,y2)?D都成立。其中L称为利普希兹常数。
2 ）局部利普希兹条件
称函数f(x,y)在区域G?R内关于y满足局部利普希兹条件,如果对区域G内的每一点,存在以其为中心的完全含于G内的矩形域D,在D上f(x,y)关于y满足利普希兹条件。
注意：对G内不同的点,矩形域D大小和常数L可能不同。 3)一致利普希兹条件
称函数f(x,y,?)在区域Gλ?(x,y,λ)(x,y)?G,α?λ?β?R?R内一致地关于y满足局部利普希兹条件，如果对G?内的每一点(x,y,?)都存在以(x,y,?)为中心的球
2??2S?Gλ，使得对任何(x,y1,?)，(x,y2,λ)?S成立不等式
f(x,y1,?)?f(x,y2,?)?Ly1?y2
其中L是与?无关的正数。
4)解的延拓
设方程(３.1)右端函数f(x,y)在某一有界区域G中有意义,y??(x),x?[a,b]是初值问题(3.1)、（3.2）的解，若y??(x),x?[a1,b1]也是初值问题的解，且[a,b]?[a1,b1],
第三章一阶微分方程的解的存在定理)
