Un???1?解：(1)
?n?11n?，级数?Un?1?n是交错级数，且满足111?lim?0n??nn?1，n，由莱布尼茨判别法
n?Un??级数收敛，又
n?1n?11n12是P<1的P级数，所以
?Un?1?发散，故原级数条件收敛．
Un???1?(2)
n?11ln?n?1?，n?1???1?n?1?111ln?n?1?ln?n?1?为交错级数，且ln?n?1???1ln?n?2?，1n?1
lim1ln?n?1?n???0，由莱布尼茨判别法知原级数收敛，但由于
Un?所以，
?Un?1?n发散，所以原级数条件收敛．
n?1(3)
敛，所以原级数绝对收敛．
Un???1?15?3n11?1Un????n?n5?35n?13n?1民，显然n?1??1?n3n?1，而
?是收敛的等比级数，故
?Un?1?n收
Un?122n?1lim?lim???n??Un??n?1n(4)因为．
故可得∴n??Un?1?Un，得n??limUn?0，
limUn?0，原级数发散．
?1??nn?1(5)当α>1时，由级数
?收敛得原级数绝对收敛．
当0<α≤1时，交错级数
???1?n?1n?11n?11???n??n?1满足条件：
1?0n??n?；，由莱布尼茨判别法知级数收lim敛，但这时
???1?n?1?n?1?11???n?n?1n发散，所以原级数条件收敛．
当α≤0时，n??limUn?0，所以原级数发散．
1?11?111???L?????23n?nn (6)由于?而
??nn?1?1发散，由此较审敛法知级数
n1???1??11??1???L???23n?nn?1?发散．
1?1?11Un??1???L???n?n，则 ?23记
即
Un?Un?1
1?111?limUn?lim?1???L??n??n??n?23n?1n1??dxn0x又
11t1lim?dx?limt?00xt???1由t???t
1???1??111???L?????limUn?023n?n知n??，由莱布尼茨判别法，原级数n?1?9．判别下列函数项级数在所示区间上的一致收敛性．
?n收敛，而且是条件收敛．
(1)
??n?1?!n?1??xn，x∈[-3,3]； (2)
xn?2n?1n??，x∈[0,1]；
(3)
sinnx?3n，x∈(-∞,+∞)； n?1(4)
e?nx?n?1n!，|x|<5；
?(5)
n?1?cosnx3n5?x2，x∈(-∞,+∞)
xn解：(1)∵
?n?1?!?3n?n?1?!，x∈[-3,3]，
3n收敛，所以原级数在 [-3,3]上一致收敛．
而由比值审敛法可知
??n?1?!n?1?(2)∵
?1xn?2n2n，x∈[0,1]，
1?2nn?1而
(3)∵
?收敛，所以原级数在[0,1]上一致收敛．
1sinnx?3n3n，x∈(-∞,+∞)，
1?n3n?1而
(4)因为
是收敛的等比级数，所以原级数在(-∞,+∞)上一致收敛．
5ne?nxe?n!n!?，x∈(-5,5)，
e5n?n!由比值审敛法可知n?1收敛，故原级数在(-5,5)上一致收敛．
cosnx3(5)∵n5?x2153?1n53，x∈(-∞,+∞)，
?而
n?1?n是收敛的P-级数，所以原级数在(-∞,+∞)上一致收敛．
10．若在区间Ⅰ上，对任何自然数n．都有|Un(x)|≤Vn(x)，则当区间Ⅰ上也一致收敛．
?Vn?1?n?x?在Ⅰ上一致收敛时，级数
?Un?1?n?x?在这
证：由n?1在Ⅰ上一致收敛知， ε>0，N(ε)>0，使得当n>N时，x∈Ⅰ有 |Vn+1(x)+Vn+2(x)+…+Vn+p(x)|<ε，
于是，ε>0，N(ε)>0，使得当n>N时，x∈Ⅰ有
|Un+1(x)+Un+2(x)+…+Un+p(x)|≤Vn+1(x)+Vn+2(x)+…+Vn+p(x) ≤|Vn+1(x)+Vn+2(x)+…+Vn+p(x)|<ε，
?V?n?x?因此，级数n?1在区间Ⅰ上处处收敛，由x的任意性和与x的无关性，可知11．求下列幂级数的收敛半径及收敛域：
?U?n?x??x?n!???(2)n?1?n???Un?1?n?x?在Ⅰ上一致收敛．
?n(1)x+2x2+3x3+…+nxn+…； ；
x2n?1?2n?1； (3)n?1??x?1?n?2n?2nn?1(4)
；
an?1n?11??lim?lim?1R??1n??an??n?n解：(1)因为，所以收敛半径收敛区间为(-1,1)，而当x=±1时，级数变为
???1?n?1?nn，由
lim(?1)nn?0x?n知级数
?(?1)n?1?nn发散，所以级数的收敛域为(-1,1)．
?1(2)因为
nan?1??1?n??n?1?!nn?n???lim?lim??lim??lim??1????e?1?n?1n??an???n!n???n?1?n????n??n?1?n
R?所以收敛半径
1??e，收敛区间为(-e,e)．
??an?1?1enn?1?x?x?ee?1limn???1lim????a?nn??2由n；应用洛必达法则求得x?0?n?x2，故有当x=e时，级数变为n?1拉阿伯判别法知，级数发散；易知x=-e时，级数也发散，故收敛域为(-e,e)．
(3)级数缺少偶次幂项．根据比值审敛法求收敛半径．
所以当x2<1即|x|<1时，级数收敛，x2>1即|x|>1时，级数发散，故收敛半径R=1．
1112n?1lim??0???1?11n??12???2n?12n?1n?1n?1n当x=1时，级数变为，当x=-1时，级数变为，由知，n?12n?1发
??1?散，从而n?12n?1也发散，故原级数的收敛域为(-1,1)．
an?1n2?2ntn??lim?lim?1?22n??n??a?n?1??2?n?1? n?2n，因为n(4)令t=x-1，则级数变为n?1?所以收敛半径为R=1．收敛区间为 -1 1?3当t=1时，级数n?12n??收敛，当t=-1时，级数 所以，原级数收敛域为 0≤x≤2，即[0,2] 12．利用幂级数的性质，求下列级数的和函数： ???1?nn?1?12?n3为交错级数，由莱布尼茨判别法知其收敛． (1) ?nxn?1n?2； (2) x2n?2?n?02n?1； ??n?1?xn?3lim?xn?2n??nx解：(1)由 散，故级数的收敛域为(-1,1)． 知，当|x|=<1时，原级数收敛，而当|x|=1时， n?1?nxn?1?n?2的通项不趋于0，从而发 记 S?x???nxn?1x??n?2?x3?nxn?1?易知 ?nxn?1?n?1的收敛域为(-1,1)，记 S1?x???nxn?1n?1? 则 ?0S1?x???xn?n?1x1?x 1?x??S1?x?????2??1?x??1?x于是 S?x??，所以 x3?1?x?2?x?1? x2n?42n?12lim?x?n??2n?3x2n?2(2)由知，原级数当|x|<1时收敛，而当|x|=1时，原级数发散，故原级数的收敛域为(-1,1)， ???x2n?2x2n?1x2n?1x2n?1S?x????x?S1?x????n?02n?1n?02n?1，易知级数n?02n?1收敛域为(-1,1)，记n?02n?1，则记 ?S1??x???x2n?n?0?11?x2， 11?x11?xlnS???S???lnx011?021?x即21?x，S1?0??0，所以故 x1?xS?x??xS1?x??ln?x?1?21?x xS1??x?dx?13．将下列函数展开成x的幂级数，并求展开式成立的区间： (1)f(x)=ln(2+x)； (2)f(x)=cos2x； f?x??(3)f(x)=(1+x)ln(1+x)； (4) x21?x2； (5) f?x??x3?x2； (6) (7)f(x)=excosx； (8) 1f?x???ex?e?x?2； 1f?x???2?x?2． 解：(1) x??x?f?x??ln?2?x??ln2??ln2?ln1????1???2??2? ?nxnln?1?x?????1?n?1，(-1 xn?1x???nln?1??????1?n?1??2?2?n?1n?0故，(-2≤x≤2) xn?1ln?2?x??ln2????1??n?1?2n?1n?0因此 ?n，(-2≤x≤2) (2) f?x??cos2x??n1?cos2x2 x2ncosx????1??2n?!，(-∞ n2n?2x?2n?n4?xcos2x????1?????1???!?2n?!2nn?0n?0得 ?n 所以 f(x)?cos2x?11?cos2x22n2n11?n4?x?????1?22n?0?2n?!，(-∞ (3)f(x)=(1+x)ln(1+x) 由所以 ln?1?x?????1?n?0?nxn?1?n?1?，(-1≤x≤1) nxn?1f?x???1?x????1?n?1n?0?n?2xn?1?nx????1?????1?n?1n?0n?1n?0?nn?1xn?1?n?1x?x????1?????1?n?1nn?1n?1?n??1?nn???1?n?1?n?1?n?1?x???xn?n?1?n?1???1?n?1n?1?x??xn?1n?n?1?? (-1≤x≤1) f?x??(4) x21?x2由于1?x2 ?1?2n?1?!!2n?1????1?nx2??!!2nn?11?x 2?x2?1(-1≤x≤1) 故 ??2n?1?!!2n??x?f?x??x?1????1?n??!!2n?n?1? ??2n?1?!!2?n?1?2?x????1?nx??!!2nn?1 (-1≤x≤1) x1f?x???x231?32x?n?x??????1???3n?0?3?n(5) xx2n?1????1?n?13n?0?n??x?3? xne??n?0n!，x∈(-∞,+∞) (6)由e得 ?x??1?n?xn??n!n?0?，x∈(-∞,+∞)
高等数学课后习题答案第十二章
