高等数学课后习题答案第十二章

习

1．写出下列级数的一般项：

题十二

1111????L357(1)

(2)

；

xxxxx2????L22?42?4?62?4?6?8；

；

a3a5a7a9????L579(3)31Un?2n?1； 解：(1)

Un?

(2)

xn2?2n?!!；

n?1 (3)

2．求下列级数的和：

?Un???1?a2n?12n?1；

(1)

??x?n?1??x?n??x?n?1?n?11；

(2)

??n?1?n?2?2n?1?n?；

111?2?3?L5(3)55；

un?1?x?n?1??x?n??x?n?1?解：(1)

111?????2??x?n?1??x?n??x?n??x?n?1???

11111????Sn??2?x?x?1??x?1??x?2??x?1??x?2??x?2??x?3?11??L???x?n?1??x?n??x?n??x?n?1???111??????x??????2x?1x?nx?n?1??从而

11limSn?n??2x?x?1?，故级数的和为2x?x?1? 因此

(2)因为

Un??n?2?n?1???n?1?n?

Sn??3?2???2?1???4?3???3?2???5?4???4?3??L??n?2?n?1???n?1?n??n?2?n?1?1?21??1?2n?2?n?1从而

所以n??limSn?1?2，即级数的和为1?2．

111Sn??2?L?n5551??1?n?1????5??5????11?51??1?n???1????4??5??(3)因为

从而

3．判定下列级数的敛散性：

limSn?n???114，即级数的和为4．

(1)

??n?1n?1?n?；

(2)

1111???L??L1?66?1111?16?5n?4??5n?1?；

；

n22223n?12?3?3?L???1??Ln3333(3)

1111??3?L?n?L555(4)5；

Sn??2?1???3?2??L??n?1?n?解：(1) 从而n???n?1?1，故级数发散．

limSn???1?1111111?Sn??1??????L???5?661111165n?45n?1?1?1???1??55n?1??(2)

11limSn?n??5，故原级数收敛，其和为5． 从而

2q??3的等比级数，且|q|<1，故级数收敛． (3)此级数为1Un?nlimUn?1?05(4)∵，而n??，故级数发散．

4．利用柯西审敛原理判别下列级数的敛散性：

(1)

??1?n?1?nn?1??； (2)

cosnx?2n； n?1?(3)

解：(1)当P为偶数时， 当P为奇数时，

因而，对于任何自然数P，都有

11??1?????3n?23n?3?． n?1?3n?1Un?1?Un?2?L?Un?p?11?n?1n，

?1?N????1???，则当n>N时，对任何自然数P恒有Un?1?Un?2?L?Un?p??成立，由柯西审敛原理ε>0，取

??1?n?1?n知，级数n?1?收敛．

(2)对于任意自然数P，都有

1??log2?????，当n>N时，对任意的自然数P都有Un?1?Un?2?L?Un?p??成立，由柯于是， ε>0(0<ε<1)，N=

西审敛原理知，该级数收敛．

(3)取P=n，则

从而取数发散．

5．用比较审敛法判别下列级数的敛散性．

?0?112，则对任意的n∈N，都存在P=n所得Un?1?Un?2?L?Un?p??0，由柯西审敛原理知，原级

111??L??L????n?3n?5(1)4?65?71?21?31?n1???L??L2221?21?31?n(2)

πsinn?3(3)n?1?；

?；

(4)

n?1??12?n31n；

1?n1?an?1(5)

解：(1)∵

??a?0?；

(6)

??2n?1?1?．

Un?1?2nn?1而

(2)∵

??11?2?n?3??n?5?n

收敛，由比较审敛法知

?Un?1?n收敛．

Un?1?n1?n1??221?nn?nn

1?而n?1n发散，由比较审敛法知，原级数发散．

ππsinnn33lim?limπ??πn??n??1π3n3n(3)∵

sinπ?n而n?13?收敛，故

?sin3n?1?πn也收敛．

Un?(4)∵

12?n3??1n31?1n32

?而

n?1?1n32?收敛，故

n?12?n3收敛．

??1111Un????nnnna1?an?1n?11?aa(5)当a>1时，，而收敛，故

11limUn?lim??0n??22当a=1时，n??，级数发散．

1limUn?lim?1?0n??n??1?an当0

也收敛．

综上所述，当a>1时，原级数收敛，当0

2?1?ln2?1?1?1x??2x?11lim?ln2??2n?1x?0nnn?1n?1x(6)由知而发散，由比较审敛法知

lim1n??发散．

6．用比值判别法判别下列级数的敛散性：

(1)

n2?nn?13?；

n!?n3?1； n?1(2)

；

?332333n???L??L23n1?22?23?2n?2(3)

(1)

2n?n!?nn n?1?n2Un?n3解：(1)

Un?1?n?1?23n1lim?limn?1?2??1n??Un??3n3n，，

由比值审敛法知，级数收敛．

Un?1?n?1?!3n?1lim?limn?1?n??Un??3?1n!n3n?1?lim?n?1??n?1n??3?1???

(2)

所以原级数发散．

Un?13n?1n?2nlim?lim?nn?1n??Un?????23n?1n?lim?3n2?n?1?

n??(3)

所以原级数发散．

3?12Un?12n?1??n?1?!nnlim?lim?nn?1n??Un???2?n!?n?1n?n??lim2??n???n?1?12?2lim??1nn??e?1??1???n?nn(4)

故原级数收敛．

7．用根值判别法判别下列级数的敛散性：

(1)

?5n????3n?1??n?1?n????n?1?3n?1???； (2)

??ln?n?1?1n?1??n；

2n?1(3) ；

(4)

?b????n?1?an??n??n，其中an→a（n→∞），an，b，a均为正数．

解：(1)

故原级数发散．

n??limnUn?lim5n5??1n??3n?13，

limnUn?lim(2)

故原级数收敛．

1ln?n?1?2?n???0?1，

1n?n?limnUn?lim??n??n???3n?1?(3)

故原级数收敛．

n?1?19，

(4)

bb?b?limn???lim?n??n??aa?an?n，

bb当ba时，ab>1，原级数发散；当b=a时，a=1，无法判定其敛散性．

8．判定下列级数是否收敛？若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？

?1111??1?n?11????L?ln?n?1?； 234(1)； (2)n?111111111???2??3??4?L53535353(3) ；

(4)

???1?n?1??n?12n!n2；

n(5)

???1?n?1?n?11n????R?；

(6)

1???1??11?1???L???23n?nn?1?．