∴AE⊥BC ∴AD⊥BC
19．如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP,MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N．
求证：∠OAB=∠OBA
证明：
∵OM平分∠POQ ∴∠POM＝∠QOM ∵MA⊥OP，MB⊥OQ ∴∠MAO＝∠MBO＝90 ∵OM＝OM
∴△AOM≌△BOM （AAS） ∴OA＝OB ∵ON＝ON
∴△AON≌△BON （SAS）
∴∠OAB=∠OBA，∠ONA=∠ONB ∵∠ONA+∠ONB＝180 ∴∠ONA＝∠ONB＝90 ∴OM⊥AB 20．（5分）如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：AD+BC=AB．
做BEPC的延长线，与AP相交于F点，
E∵PA//BC
∴D∠PAB+∠CBA=180°，又∵，AE，BE均为∠PAB和∠CBA的角平分线
∴∠EAB+∠EBA=90°∴∠AEB=90°，EAB为直角三角形 BA在三角形ABF中，AE⊥BF，且AE为∠FAB的角平分线
∴三角形FAB为等腰三角形，AB=AF,BE=EF 在三角形DEF与三角形BEC中，
∠EBC=∠DFE,且BE=EF，∠DEF=∠CEB，
∴三角形DEF与三角形BEC为全等三角形，∴DF=BC ∴AB=AF=AD+DF=AD+BC
21．如图，△ABC中，AD是∠CAB的平分线，且AB=AC+CD，求证：∠C=2∠B
延长ACA到E 使AE=AC 连接 ED
AB=AC+CD ∵
CD=CE ∴
C可得∠B=∠E
BD△CDE为等腰 ∠ACB=2∠B 22．（6分）如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M． （1）求证：MB=MD，ME=MF
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（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．
（1）连接BE，DF．
∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F， ∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF， 在Rt△DEC和Rt△BFA中， ∵AF=CE，AB=CD，
∴Rt△DEC≌Rt△BFA（HL）， ∴DE=BF．
∴四边形BEDF是平行四边形． ∴MB=MD，ME=MF； （2）连接BE，DF．
∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F， ∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF， 在Rt△DEC和Rt△BFA中， ∵AF=CE，AB=CD，
∴Rt△DEC≌Rt△BFA（HL）， ∴DE=BF．
∴四边形BEDF是平行四边形． ∴MB=MD，ME=MF．
23．已知：如图，DC∥AB，且DC=AE，E为AB的中点， （1）求证：△AED≌△EBC．
（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC外，请再写出两个与△AED的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）： A
D O C证明：
EB12 / 23
∵DC∥AB
∴∠CDE＝∠AED ∵DE＝DE，DC＝AE ∴△AED≌△EDC ∵E为AB中点 ∴AE＝BE ∴BE＝DC ∵DC∥AB
∴∠DCE＝∠BEC ∵CE＝CE
∴△EBC≌△EDC ∴△AED≌△EBC 24．（7分）如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．
求证：BD=2CE． 证
DCAF
E明：
∵∠CEB=∠CAB=90° ∴ABCE四点共元
B∵∠AB E=∠CB E ∴AE=CE ∴∠ECA=∠EAC
取线段BD的中点G，连接AG，则：AG=BG=DG ∴∠GAB=∠ABG
而：∠ECA=∠GBA (同弧上的圆周角相等） ∴∠ECA=∠EAC=∠GBA=∠GAB 而：AC=AB ∴△AEC≌△AGB ∴EC=BG=DG ∴BE=2CE
25、如图：DF=CE，AD=BC，∠D=∠C。求证：△AED≌△BFC。
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DEFCAB
证明：∵DF=CE，∴DF-EF=CE-EF，即DE=CF，在△AED和△BFC中，∵ AD=BC， ∠D=∠C ，DE=CF ∴△AED≌△BFC（SAS）
26、（10分）如图：AE、BC交于点M，F点在AM上，BE∥CF，BE=CF。
求证：AM是△ABC的中线。
AFBEMC
证明： ∵BE‖CF
∴∠E=∠CFM，∠EBM=∠FCM ∵BE=CF ∴△BEM≌△CFM ∴BM=CM
∴AM是△ABC的中线.
27、（10分）如图：在△ABC中，BA=BC，D是AC的中点。求证：BD⊥AC。
ADBC
∵△ABD和△BCD的三条边都相等 ∴△ABD=△BCD ∴∠ADB=∠CD
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∴∠ADB=∠CDB=90°∴BD⊥AC
28、（10分）AB=AC，DB=DC，F是AD的延长线上的一点。求证：BF=CF
ADBCF
在△ABD与△ACD中 AB=AC BD=DC AD=AD
∴△ABD≌△ACD ∴∠ADB=∠ADC ∴∠BDF=∠FDC 在△BDF与△FDC中 BD=DC ∠BDF=∠FDC DF=DF
∴△FBD≌△FCD ∴BF=FC
29、（12分）如图：AB=CD，AE=DF，CE=FB。求证：AF=DE。
AFBECD
∵AB=DC AE=DF, CE=FB
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全等三角形证明经典50题（含答案）51921
