矩形菱形与正方形
一.选择题
1. ( 2019甘肃省兰州市)如图，边长为
2的正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，将正方形ABCD沿直线DF折叠，点C落在对角线BD上的点E处，折痕DF交AC于点M，则DM＝（ ）
A.
21 B.
22 C.
3－1 D. 2－1
【答案】D．
【考点】正方形的性质，折叠的性质，相似三角形的性质与判定，角平分线的性质. 【考察能力】空间想象能力，推理论证能力，运算求解能力. 【难度】较难
【解析】过点M作MP⊥CD垂足为P，过点O作OQ⊥CD垂足为Q，
∵ 正方形的边长为
2，
22，由折叠可知，∠EDF＝∠CDF.
∴OD＝1， OC＝1， OQ＝DQ＝又∵AC⊥BD， ∴OM＝PM， 设OM＝PM＝x ∵OQ⊥CD，MP⊥CD
∴∠OQC＝∠MPC＝900， ∠PCM＝∠QCO， ∴△CMP∽△COQ
MP∴
OQCM＝
COx， 即
22?1?x1， 解得x＝2－1
∴OM＝PM＝故选D.
2－1.
2.（2019?贵州毕节?3分）平行四边形ABCD中，AC.BD是两条对角线，现从以下四个关系①AB＝BC；②AC＝BD；③AC⊥BD；④AB⊥BC中随机取出一个作为条件，即可推出平行四边形ABCD是菱形的概率为（ ） A．
B．
C．
D．1
【分析】菱形的判定：①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；②四条边都相等的四边形是菱形．③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
【解答】解：根据平行四边形的判定定理， 可推出平行四边形ABCD是菱形的有①或③， 概率为
．
1
故选：B．
【点评】本题考查了菱形及概率，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．
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3.（2019?广西池河?3分）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，BE＝CF，则图中与∠
AEB相等的角的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【分析】根据正方形的性质，利用SAS即可证明△ABE≌△BCF，再根据全等三角形的性质可得∠BFC＝∠
AEB，进一步得到∠BFC＝∠ABF，从而求解．
【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB∥BC，AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°， 在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（SAS）， ∴∠BFC＝∠AEB， ∴∠BFC＝∠ABF，
故图中与∠AEB相等的角的个数是2． 故选：B．
【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
4. （2019?南京?2分）面积为4的正方形的边长是（ ） A．4的平方根 C．4开平方的结果
【解答】解：面积为4的正方形的边长是故选：B．
【点评】本题考查算术平方根；熟练掌握正方形面积与边长的关系，算术平方根的意义是解题的关键． 5. （2019?湖南岳阳?3分）下列命题是假命题的是（ ） A．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形 B．同角（或等角）的余角相等
C．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 D．正方形的对角线相等，且互相垂直平分 【分析】由平行四边形的性质得出A是假命题； 由同角（或等角）的余角相等，得出B是真命题；
由线段垂直平分线的性质和正方形的性质得出C.D是真命题，即可得出答案． 【解答】解：A．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形；假命题； B．同角（或等角）的余角相等；真命题；
B．4的算术平方根 D．4的立方根
，即为4的算术平方根；
【分析】已知正方形面积求边长就是求面积的算术平方根；
2
C．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；真命题； D．正方形的对角线相等，且互相垂直平分；真命题； 故选：A．
【点评】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
6（2019，山东枣庄，3分）如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置．若四边形AECF的面积为20，DE＝2，则AE的长为（ ）
A．4
B．2
C．6
D．2
【分析】利用旋转的性质得出四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积，进而可求出正方形的边长，再利用勾股定理得出答案．
【解答】解：∵△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置． ∴四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于20， ∴AD＝DC＝2∵DE＝2， ∴Rt△ADE中，AE＝故选：D．
【点评】本题主要考查了旋转的性质以及正方形的性质，正确利用旋转的性质得出对应边关系是解题关键．
7. （2019?湖北十堰?3分）矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ） A．对边相等 C．对角线相等
B．对角相等 D．对角线互相平分
＝2
，
【分析】矩形的对角线互相平分且相等，而平行四边形的对角线互相平分，不一定相等． 【解答】解：矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等． 故选：C．
【点评】本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．如，矩形的对角线相等．
8. （2019?湖北孝感?3分）如图，正方形ABCD中，点E.F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G．若
BC＝4，DE＝AF＝1，则GF的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
3
【分析】证明△BCE≌△CDF（SAS），得∠CBE＝∠DCF，所以∠CGE＝90°，根据等角的余弦可得CG的长，可得结论．
【解答】解：正方形ABCD中，∵BC＝4， ∴BC＝CD＝AD＝4，∠BCE＝∠CDF＝90°， ∵AF＝DE＝1， ∴DF＝CE＝3， ∴BE＝CF＝5， 在△BCE和△CDF中，
，
∴△BCE≌△CDF（SAS）， ∴∠CBE＝∠DCF，
∵∠CBE+∠CEB＝∠ECG+∠CEB＝90°＝∠CGE，
cos∠CBE＝cos∠ECG＝
∴
，CG＝
， ＝
，
∴GF＝CF﹣CG＝5﹣故选：A．
，
【点评】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，证明△
BCE≌△CDF是解本题的关键．
9. （2019?湖南衡阳?3分）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，E是AB的中点，过点E作AC和BC的垂线，垂足分别为点D和点F，四边形CDEF沿着CA方向匀速运动，点C与点A重合时停止运动，设运动时间为t，运动过程中四边形CDEF与△ABC的重叠部分面积为S．则S关于t的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
4
【分析】根据已知条件得到△ABC是等腰直角三角形，推出四边形EFCD是正方形，设正方形的边长为
a，当移动的距离＜a时，如图1S＝正方形的面积﹣△EE′H的面积＝a2﹣
如图2，S＝S△AC′H＝
（2a﹣t）2＝
t2；当移动的距离＞a时，
t2﹣2at+2a2，根据函数关系式即可得到结论；
【解答】解：∵在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝BC， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∵EF⊥BC，ED⊥AC， ∴四边形EFCD是矩形， ∵E是AB的中点， ∴EF＝
AC，DE＝BC，
∴EF＝ED，
∴四边形EFCD是正方形， 设正方形的边长为a，
如图1当移动的距离＜a时，S＝正方形的面积﹣△EE′H的面积＝a2﹣当移动的距离＞a时，如图2，S＝S△AC′H＝∴S关于t的函数图象大致为C选项， 故选：C．
（2a﹣t）2＝
t2；
t2﹣2at+2a2，
【点评】本题考查动点问题的函数图象，正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是读懂题意，学会分类讨论的思想，属于中考常考题型．
10. (2019?广东?3分）如图，正方形ABCD的边长为4，延长CB至E使EB=2，以EB为边在上方作正方
形EFGB，延长FG交DC于M，连接AM、AF，H为AD的中点，连接FH分别与AB.AM交于点N、
K．则下列结论：①△ANH≌△GNF；②∠AFN=∠HFG；③FN=2NK；④S△AFN : S△ADM =1 : 4．其中正
确的结论有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5
2020中考数学矩形菱形与正方形专题复习(含解析)
