平面向量数量积的物理背景及含义
教学目标
1、了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义；
2、体会平面向量的数量积与向量投影的关系，掌握数量积的性质，并能运用性质进行相关的运算和判断；
3、体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括的能力。
教学重点：平面向量的数量积的定义、几何意义及其性质。 教学难点：平面向量数量积的概念。 教学方法：启发探究式,讲练结合法。 教学准备：多媒体、彩色粉笔。 课型：新授课. 教学过程
(一)复习引入
教师引言：前面我们学习了向量的相线性运算，向量的加法、减法和数乘运算。我们知道这些运算有个共同的特点，就是他们运算的结果仍然是一个向量。既然平面向量能进行加减运算，那自然会想到两个向量能否进行乘法运算？如果能，结果应该是什么呢？我们很清楚，向量概念的引入与物理学的研究密切相关，我们来看物理学中这样的一个例子：物理学家很早就知道,如果一个物体在力F作用下产生位移S，那么F所做的功为:
F ? F S S (图1) (图2 )
????(图1)中力所做的功W=FS，(图2)中力所做的功W?FScos?，在物理中功是一个标量，是由F和S这两个向量来确定的，如果我们把功看成是由F和S这两个向量的一种运算结果，就可以引出新课的内容“平面向量数量积的物理
-0-
背景及其含义”. (二)合作探究
??? 结合物理学中功大小的定义W?FScos?和前面我们说的把功看成是F和???S两个向量的运算结果，两者是等价的.如果把F和S这两个向量推广到一般的
向量，就引出数量积的定义． 1、数量积的定义：
??????已知两个非零向量a和b，把数量abcos?叫做a与b数量积（或内积），
??记作a?b（注意：两个向量的运算符号是用“?”表示的，且不能省略），用数
????学符号表示即a?b?abcos?,（0????180?） .
???规定：零向量与任意向量的数量积都为零，即0?a?0?a为任意向量?
2、接下来，请同学们思考一个问题：
根据定义我们知道数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？
180??，根据余弦函数的知识我们可我们前面已经提到两个向量的夹角在?0?，以知道:
??当???0?,90??时，cos??0，a?b?0； ??当???90?,180??时，cos??0，a?b?0. ????当??90?,a?b,a?b?0;
3、投影的定义
????????a?b?abcos?是由W?FScos?的引出来的，而W?FScos?是F1所做的
?????S功，F1?Fcos?是F在方向上的分力，那么在数量积中acos?叫做什么呢？
这是我们今天要学的第二个新概念“投影” ：
??????acosθ（bcosθ）叫做向量a在b方向上(b在a方向上）的投影.
4、根据投影的定义，引导学生说出数量积的结构，也就是数量积的几何意义：
???????数量积a?b等于a的长度a与b在a方向上的投影bcos?的乘积 5、功的数学本质是什么？功的数学本质是力与位移的数量积。
-1-
6、探究数量积的性质
我们讨论了数量积的正负，那么我们这里就具体的讨论一些特殊的夹角:
??????90?,a?b,a?b?0;
????????0?，a与b同向，a?b?ab; ????????180?，a与b反向，a?b?-ab.
我们这里都是由两个向量的夹角来讨论数量积的,那如果我们已知两个向
量的数量积及模长,怎样得出它们的夹角呢?
??????a?b根据定义a?b?abcos??cos????．由此我们就可以得出?的值.当
ab??a?b?0时,cos??0???90?． ????总结a?b?a?b?0.
???2??????特别地，a?a?a或a?a?a,这里a?a常记为a2.
????请判断a?b与ab的大小关系．
????解：因为a?b?abcos?,cos??1， ??????所以a?b?abcos??ab．
这些就是数量积的性质。在课堂上以上性质以探究形式出现，让同学们积极思考，踊跃回答并总结其各自的应用。 （三）例题讲解，巩固知识
??????例1已知a?5,b?4，a与b的夹角?=120度，求a?b．
解：根据数量积的定义: ????a?b?abcos?
?1? =5?4?cos120?=5?4????=-10.
?2? 练习：在△ABC中BC=8,CA=7,?C?600求BC?CA。 (-28)
???????2,b?8,?例2已知a?b??8,a?求a与b的夹角?。
??解：?a?b?abcos???a?b?81cos???????2?82ab???0,180???120o?oo?-2-
??????o 变式：已知a?b?63,a?2,a与b的夹角??30,求b.
（四） 课堂练习
1、判断下列各命题是否正确，并说明理由
①、若a≠0，则对任一非零向量b，有a·b≠0． ②、若a≠0，a·b＝a·c，则b＝c．
2、已知△ABC中，AB=a, AC=b，当a·b <0或a·b＝0时，试
判断△ABC的形状。 （五）课堂小结
本节课你有什么收获？让学生各抒己见从不同方面加以总结。 ( 知识收获，学习方法，数学思想等．) （六） 布置作业：
1、课本P121习题2.4A组1、2、6。
2、拓展与提高：
已知a与b都是非零向量，且a+3b 与7a -5b垂直，a-4b与 7a-2b垂直，求a与b的夹角。（本题供学有余力的同学选做）
-3-
人教A版高中数学必修4《二章 平面向量 向量及向量符号的由来》优质课教案_2
