矩阵、行列式的概念与运算
知识点总结： 一、矩阵的概念与运算 1、 矩阵??a11a12?a21a22a13??中的行向量是a??a11a12a23?a13?，b??a21a22c13??，那么 c23?a23?；
2、 如：A???c11c12?a11a12??b11b12?,B?,C?????aabb?2122??2122??c21c22a12?b12??a?b?3a113a12?A?B??1111,3A?????a21?b21a22?b22??3a213a22??a11c11?a12c21a11c12?a12c22AC???a21c11?a22c21a21c12?a22c22a11c13?a12c23??
a21c13?a22c23?，
矩阵加法满足交换律和结合律，即如果A,B,C是同阶的矩阵，那么有：
A?B?B?A,A?(B?C)?(A?B)?C。
同理如果矩阵A,B是两个同阶矩阵，那么将它们对应位置上的元素相减所得到的矩阵C叫做矩阵A与B的差，记作C?A?B。
实数与矩阵的乘法满足分配律：即a(A?B)?aA?aB。
矩阵对乘法满足：A(B?C)?AB?AC，(B?C)A?BA?CA，a(AB)?(aA)B?A(aB)
(AB)C?A(BC)
3、 矩阵乘法不满足交换率，如??a1?a2b1??c1??b2??c2d1??c1???d2??c2d1??a1??d2??a2b1??. b2?矩阵乘法能进行的条件是左边的矩阵A的列数与右边矩阵B的行数相等，而且矩阵的乘法不满足交换率，不满足消去律。 二、行列式概念及运算 1.用记号
a1a2b1b2表示算式a1b2?a2b1,即
a1a2b1b2=a1b2?a2b1,其中
a1a2b1b2叫做二阶行列
式;算式a1b2?a2b1叫做二阶行列式的展开式;其计算结果叫做行列式的值;a1,a2,b1,b2都叫做行列式的元素.利用对角线
a1a2b1b2可把二阶行式写成它的展开式,这种方法叫做二阶行列式
展开的对角线法则;即在展开时用主对角线元素的乘积减去副对角线元素的乘积. 2.二元一次方程组的解
a1?a1x?b1y?c1二元一次方程组?(其中a1,a2,b1,b2不全为零);记
ax?by?ca222?2行列式;记
b1b2叫做方程组的系数
Dx?的.
c1c2b1b2,Dy?a1a2c1c2即用常数项分别替换行列式D中x的系数或y的系数后得到
DyDx,y?(1) 若D?0,则方程组有唯一一组解,x? ; DD(2) 若D?0,且Dx,Dy中至少有一个不为零,则方程组无解;
(3) 若D?Dx?Dy?0,则方程组有无穷多解. 3。三阶行列式及对角线法则
a1用a2b1b2b3c1c2表示算式;其结果是a1b2c3?a2b3c1?a3b1c2?a3b2c1?a2b1c3?a1b3c2. c3a3a1我们把a2b1b2b3c1c2叫做三阶行列式; a1b2c3?a2b3c1?a3b1c2?a3b2c1?a2b1c3?a1b3c2叫c3a3做三阶行列式的展开式.其计算结果叫做行列式的值;ai,bi,ci(i?1,2,3)都叫做三阶行列式的元素.
4． 三阶行列式按一行(或一列)展开
把行列式中某一元素所在的行和列去后,剩下的元素保持原来的位置关系组成的二阶行列式叫做该元素的余子式;余子式前添上相应的正负号叫做该元素的代数余子式;其中第i行与第j列的代数余子式的符号为(?1)i?j.
三阶行列式可以按其一行或一列)展开成该行(或该列)元素与其对应的代数余子式的乘积之和.三阶行列式有有两种展开方式:(1)按对角线法则展开,(2)按一行(或一列)展开. 5.三元一次方程组的解
?a1x?b1y?c1z?d1?三元一次方程组?a2x?b2y?c2z?d2(其中(ai,bi,ci(i?1,2,3)不全为零);
?ax?by?cz?d333?3a1记D?a2b1b2b3b1b2b3c1d1b1b2b3c1a1d1d2d3c1c2
c3a3a1Dz?a2a3c2为方程组的系数行列式;记Dx?d2c3d3d1c2,Dy?a2c3a3d2,即用常数项分别替换行列式D中x或y或z的系数后得到的.
d3
??x???(1) 当D?0时,方程组有惟一解?y???z???
举例应用： 一、填空题：
DxDDyDDzD
(2) 当D?0时,方程组有无穷多组解或无解.
?314??012?????1、已知A??2?1?2?.B??34?1?，则3A?B? ；
?241???211??????9210???解：3A?B?3?7?5；
???8112???2、已知A???12??2?3?,B????，则AB? ；BA?
?21??31?解：AB???12??2?3??8?1???41?；?BA????????
?21??31??7?5??57??15??58??534???,B?3、已知A?????,C??10?，则(AB)C? ；A(BC)?
?67??224??6????15?58534???????1237?解：(AB)C?(????)?10????;
672241292?????6??????15??58??534????1237?A(BC)???(???10?)???
?67??224??6??1292????ab??x??ax?by?4。矩阵的一种运算??cd?????y?????cx?dy??,该运算的几何意义为平面上的点(x,y)在矩阵
??????
?1a??ab?22(ax?by,cx?dy),若曲线x?4xy?2y?1???的作用下变换成点在矩阵?b1??的作?cd?????用下变换成曲线x?2y?1,则a?b的值为 .
22解：由题意??1a??x??x?ay?22??????，代入x?2y?1，整理可得令?b1??y??bx?y??x?ay?x'，?bx?y?y'??(x?ay)2?2(bx?y)2?1， ?(1?2b2)x2?2(a?2b)xy?(a2?2)y2?1，用待定系数法
?1?2b2?1?a?2?2(a?2b)?4??a?b?2 ??b?0??a2?2?2?二、选择题
5、给出下列三个式子： （1）??a11a12??b11b12??b11b12??a11a12?????????
?a21a22??b21b22??b21b22??a21a22?a12?b11???a13??b21??a11b11?a12b21?a13b31
?b??31???b11????a13????b21?????a11?b???31??a12?b11?????a13???b21??.
?b???31??（2）?a11（3）??a11a12其中正确的式子的个数是（ ） A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 解：由于上面各命题都不对，所以选择（A） 6.下面给出矩阵的一些性质中正确的是（ ）
A.AB=BA B.若AB=(0),则A=(0)或B=(0) C.若AB=AC,则B=C D.(AB)C=A(BC) 解：根据矩阵的性质，知道（A），（B），（C）都不对，所以选取（D）
?x?3??4?y?7、已知A???,B???,若A=2B,则x,y的值分别为（ ）.
2y?1x?1????
矩阵行列式的概念与运算(标准答案)
