第1讲 直线方程和两直线的位置关系
【2014年高考会这样考】
1．考查倾斜角的概念、倾斜角与斜率的关系及直线方程的几种形式． 2．考查由两条直线的斜率判定两直线平行与垂直．
3．考查点到直线的距离公式、两平行线间的距离公式及求解等．
对应学生131 考点梳理
1．直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角
①定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0. ②倾斜角的范围是[0，π)． (2)直线的斜率
①定义：若直线的倾斜角θ不是90°，则斜率k＝tan_θ；
y2－y1②计算公式：若由A(x1，y1)，B(x2，y2)确定的直线不垂直于x轴，则k＝.
x2－x12．直线方程的五种形式
名称 点斜式 斜截式 两点式 方程 y－y0＝k(x－x0) y＝kx＋b y－y1x－x1＝ y2－y1x2－x1xya＋b＝1 Ax＋By＋C＝0(A＋B≠0) 22适用范围 不含垂直于x轴的直线 不含垂直于x轴的直线 不含直线x＝x1(x1≠x2) 和直线y＝y1(y1≠y2) 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 平面直角坐标系内的直线都适用 截距式 一般式 3.两直线平行与垂直
对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2?k1＝k2，l1⊥l2?k1k2＝－1. 4．距离公式
(1)平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离为|P1P2|＝?x2－x1?2＋?y2－y1?2.
(2)平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的距|Ax0＋By0＋C|
离为d＝.
A2＋B2
(3)两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(其中A，B不同时为0，且C1≠C2)间的距离为d＝【助学·微博】 一条规律
与直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平行、垂直的直线方程的设法：
一般地，平行的直线方程设为Ax＋By＋m＝0；垂直的直线方程设为Bx－Ay＋n＝0. 两点提醒
(1)在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑． (2)求点到直线的距离时，若给出的直线不是一般式，则应先化为一般式．
考点自测
1．直线xsin α＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是( )． π??3π??
A．[0，π) B.?0，4?∪?4，π?
????π?π??π???
C.?0，4? D.?0，4?∪?2，π? ??????
解析 设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α，其中sin α∈[－1,1]，又θ∈[0，
|C1－C2|
. A2＋B2
π3π
π)，所以0≤θ≤4或4≤θ<π.故选B. 答案 B
2．若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为( )． 1132A.3 B．－3 C．－2 D.3 ??a＋7＝2，
解析 依题意，设点P(a,1)，Q(7，b)，则有?解得a＝－5，b
??b＋1＝－2，＝－3，从而可知直线l的斜率为答案 B
3．(2012·广州调研)直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是( )． A．1 B．－1
C．－2或－1 D．－2或1 解析 代入验证可得a＝1或－2. 答案 D
4．直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程是( )． A．3x＋2y－1＝0 B．3x＋2y＋7＝0 C．2x－3y＋5＝0 D．2x－3y＋8＝0
解析 与直线2x－3y＋4＝0垂直的直线方程可设为－3x－2y＋c＝0，将点(－1,2)代入－3x－2y＋c＝0，解得c＝1，故直线方程为3x＋2y－1＝0. 答案 A
5．已知直线l1的方程为3x＋4y－7＝0，直线l2的方程为6x＋8y＋1＝0，则直线l1与l2的距离为________．
1
解析 直线l2的方程变为：3x＋4y＋2＝0，则直线l1与直线l2的距离为
?1?
?2＋7???32＋42
－3－17＋5
1
＝－3，选B.
3＝2. 3答案 2
对应学生132 考向一 求直线的方程
【例1】?(1)已知经过点P(3,2)，且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程为________；
(2)已知两点A(－1，－5)，B(3，－2)，直线l过点(1,1)且倾斜角是直线AB倾斜角的两倍，则直线l的方程为________．
[审题视点] (1)设截距均为a，分a＝0或a≠0求解； (2)由两角和的正切公式求斜率，再由点斜式求解．
解析 (1)设直线l在x，y轴上的截距均为a，若a＝0，即l过点(0,0)和(3,2)， 2
∴l的方程为y＝x，即2x－3y＝0.
3xy
若a≠0，则设l的方程为a＋a＝1， 32
∵l过点(3,2)，∴a＋a＝1，∴a＝5， ∴l的方程为x＋y－5＝0，
综上可知，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0. (2)kAB＝
－2＋53＋1
3
＝4.设直线AB的倾斜角为θ，
3
则tan θ＝4，这时直线l的倾斜角为2θ， 其斜率为tan 2θ＝
24＝. 271－tanθ2tan θ
24
由点斜式得：y－1＝7(x－1)，即24x－7y－17＝0. 答案 (1)2x－3y＝0或x＋y－5＝0 (2)24x－7y－17＝0
在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形
式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．
1
【训练1】 (1)求过点A(1,3)，斜率是直线y＝－4x的斜率的3的直线方程； (2)求经过点A(－5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程．
解 (1)设所求直线的斜率为k，依题意 14
k＝－4×3＝－3.又直线经过点A(1,3)， 4
因此所求直线方程为y－3＝－3(x－1)， 即4x＋3y－13＝0.
xy
(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为2a＋a＝1， 1
将(－5,2)代入所设方程，解得a＝－2， 此时，直线方程为x＋2y＋1＝0. 2
当直线过原点时，斜率k＝－5， 2
直线方程为y＝－5x，即2x＋5y＝0，
综上可知，所求直线方程为x＋2y＋1＝0或2x＋5y＝0.
考向二 两条直线的平行与垂直问题
【例2】?(1)若直线l1：ax＋2y－6＝0与l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0平行，则a＝________；
2014届高考人教A版数学(理)一轮复习讲义：9.1 直线方程和两直线的位置关系
