第二章 2.3 2.3.1
【基础练习】
1．若X是一个随机变量，则E(X－E(X))的值为( ) A．2E(X) C．E(X) 【答案】B
2．已知离散型随机变量X的分布列为
X P 则X的数学期望E(X)等于( ) 3A. 25C. 2【答案】A
3．李先生居住在城镇的A处，准备开车到单位B处上班，途中(不绕行)共要经过6个交1
叉路口，假设每个交叉路口发生堵车事件的概率均为，则李先生在一次上班途中会遇到堵车6次数ξ的期望值E(ξ)是( )
1
A. 6
5?6
C．6×??6? 【答案】B
4．口袋中有5只球，编号为1,2,3,4,5，从中任取3只球，以X表示取出的球的最大号码，则E(X)等于( )
A．4 C．4.5 1【答案】 925.(2019年洛阳期末)设随机变量ξ~B(2,p),η~B(4,p)，若E(ξ)=,则P(η≥3)=______. 3【答案】300
6.(2019年丹东期末)某种种子每粒发芽的概率都为0.85，现播种了1000粒，对于没有发芽的
B．5 D．4.75 B．1 1?6
D．6×??6? B．2 D．3
1 3 52 3 103 1 10B．0 D．无法求
种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望E(X)=______．
【答案】0.2
7．端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个．
(1)求三种粽子各取到1个的概率；
(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望． 【解析】(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，
11C112C3C5
则P(A)＝3＝.
C104
(2)X的所有可能值为0,1,2， C378
P(X＝0)＝3＝，
C1015
2C172C8
P(X＝1)＝3＝，
C10151C212C8
P(X＝2)＝3＝.
C1015
∴X的分布列为
X P 7713∴E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
1515155
8．某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分．假设这名同学每题回答正确的概率均为0.8且各题回答正确与否相互之间没有影响．
(1)求这名同学回答这三个问题的总得分ξ的概率分布和数学期望(均值)； (2)求这名同学总得分不为负分(即ξ≥0)的概率． 【解析】(1)ξ的可能取值为－300，－100,100,300. P(ξ＝－300)＝0.23＝0.008，
2P(ξ＝－100)＝C130.2×0.8＝0.096， 2
P(ξ＝100)＝C230.2×0.8＝0.384，
0 7 151 7 152 1 15P(ξ＝300)＝0.83＝0.512. 所以ξ的概率分布列为
ξ P －300 0.008 －100 0.096 100 0.384 300 0.512 E(ξ)＝(－300)×0.008＋(－100)×0.096＋100×0.384＋300×0.512＝180. (2)这名同学总得分不为负分的概率为
P(ξ≥0)＝0.384＋0.512＝0.896.
【能力提升】
9.(2019年朝阳期中)已知随机变量X的分布列如下，E(X)=7.5，则ab的值是( ) X P 4 0.3 C.2.8 a 0.1 D.3.6 9 b 10 0.2 A.1.8 B.2.4 【答案】C
【解析】由分布列的性质可得0.3+0.1+b+0.2=1，解得b=0.4.由E(X)=7.5可得4×0.3+0.1a+9×0.4+10×0.2=7.5，解得a=7.所以ab=7×0.4=2.8.故选C.
10.(2019年大庆期末)同时抛掷5枚均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数为X，则X的均值为( ) A.20
【答案】B
B.25
C.30
D.40
1【解析】同时抛掷5枚均匀的硬币，每枚硬币出现正面向上和反面向上的概率都是2，所以正115好出现“2枚正面向上，3枚反面向上”的概率为C52×(2)2×(2)3=16.由题意得，X服从二项分布，55即X~B(80,16),所以X的均值为E(X)=80×16=25.故选B. 11．(2017年株洲联考)设离散型随机变量ξ的可能取值为1,2,3,4，P(ξ＝k)＝ak＋b(k＝1,2,3,4)．又E(ξ)＝3，则a＋b＝________.
1
【答案】
10
【解析】∵P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)＝10a＋4b＝1，又E(ξ)＝30a＋10b＝3，11
解得a＝，b＝0，∴a＋b＝. 1010
12.(2019年福建模拟)某工厂A,B两条相互独立的生产线生产同款产品，在产量一样的情况下
通过日常监控得知A,B生产线生产的产品为合格品的概率分别为p和2p-1(0.5≤p<1).
（1）从A,B生产线上各抽检一件产品，若使得至少有一件合格的概率不低于99.5%，求p的最小值p0.
（2）假设不合格的产品均可进行返工修复为合格品，以（1）中确定的p0作为p的值.
①已知A,B生产线的不合格产品返工后每件产品可分别挽回损失5元和3元.若从两条生产线上各随机抽检1000件产品，以挽回损失的平均数为判断依据，估计哪条生产线挽回的损失较多？
②若最终的合格品（包括返工修复后的合格品）按照一、二、三等级分类后，每件分别获利10元、8元、6元，现从A,B生产线的最终合格品中各随机抽取100件进行检测，结果统计如下图.用样本的频率分布估计总体分布，记该工厂生产一件产品的利润为X，求X的分布列并估算该厂产量2000件时利润的期望值.
【解析】(1)由题意得两件都不合格的概率为(1-p)[1-(2p-1)]， 则至少有一件合格的概率为1-(1-p)[1-(2p-1)]=-2p2+4p-1, 由-2p2+4p-1≥99.5%，解得0.95≤p≤1.05. 又0.5≤p<1，所以p的最小值p0=0.95.
(2)由(1)知A,B生产线的合格率分别为0.95，0.9，即不合格率分别为0.05，0.1. ①设从A,B生产线上各抽检1000件产品，抽到不合格产品的件数分别为X1,X2. 则有X1~B(1000,0.05),X2~B(1000,0.1)，
所以A,B生产线上挽回损失的平均数分别为 E(5X1)=5E(X1)=5×1000×0.05=250， E(3X2)=3E(X2)=3×1000×0.1=300.
所以B生产线上挽回的损失较多.
②由已知得X的可能取值为10，8，6,用样本估计总体，则有 20+351160+40120+459
P(X=10)=200=40,P(X=8)=200=2,P(X=6)=200=40. 所以X的分布列为 X P 1119
所以E(X)=10×40+8×2+6×40=8.1. 故估计该厂产量2000件时利润的期望值为2000×8.1=16200(元).
10 1140 8 12 6 940
数学规范训练：2.3.1离散型随机变量的均值 Word版解析版
