2010年高三一轮复习讲座九 ----立体几何
二、复习要求
空间几何图形得证明及计算。
三、学习指导
1、 空间基本元素:直线与平面之间位置关系得小结。如下图: 条件 结论 线线平行 线面平行 如果a∥α,aβ,β∩α=b,那么a∥b 面面平行 如果α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,那么a∥b 如果α∥β,aα,那么α∥β 垂直关系 线线平行 如果a∥b,b∥c,那么a∥c 如果a∥b,a如果a⊥α,b⊥α,那么a∥b 线面平行 α,bα,那么a∥α 如果aα,bα,c—— —— 如果aα,bα,a∩b=P,a∥β,b∥β,那么α∥β 线面垂直 面面平行 β,dβ,a∥c,b∥d,a∩b=P,那么α∥β 如果α∥β,β∥γ,那么α∥γ 如果a⊥α,a⊥β,那么α∥β 条件 结论 线线垂直 面面垂直 如果三个平面两两垂直,那么它们交线两两垂直 如果α⊥β,α平行关系 线线垂直 二垂线定理及逆定理 如果a⊥b,a⊥如果a⊥α,bα,那么a⊥b 如果a∥b,a⊥c,那么b⊥c 线面垂直 c,bα,cα,b∩c=P,那么a⊥α —— ∩β=b,aα,a⊥b,那么a⊥β 如果a⊥α,b∥a,那么b⊥α 面面垂直 定义(二面角等于90) 0如果a⊥α,aβ,那么β⊥α —— —— 2、 空间元素位置关系得度量 (1)角:异面直线所成得角,直线与平面所成得角,二面角,都化归为平面几何中两条相交直线所成得角。
异面直线所成得角:通过平移得变换手段化归,具体途径有:中位线、补形法等。 直线与平面所成得角:通过作直线射影得作图法得到。
二面角:化归为平面角得度量,化归途径有:定义法,三垂线定理法,棱得垂面法及面积射影法。 (2)距离:异面直线得距离,点面距离,线面距离及面面距离。
异面直线得距离:除求公垂线段长度外,通常化归为线面距离与面面距离。 线面距离,面面距离常化归为点面距离。 3、 两个重要计算公式 （1）cosθ=cosθ1·cosθ2
其中θ1为斜线PA与平面α所成角,即为∠PAO,θ2为PA射影AO与α内直线AB所成得角,θ为∠PAB。 显然,θ>θ1,θ>θ2
（2）异面直线上两点间距离公式 设异面直线a,b所成角为θ 则EF=m+n+d±2mncosθ
4、棱柱、棱锥就是常见得多面体。在正棱柱中特别要运用侧面与底面垂直得性质解题,在正棱锥中,要熟记由高PO,斜高PM,侧棱PA,底面外接圆半径OA,底面内切圆半径OM,底面正多边形半边长OM,构成得三棱锥,该三棱锥四个面均为直角三角形。 5、球就是由曲面围成得旋转体。研究球,主要抓球心与半径。
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6、立体几何得学习,主要把握对图形得识别及变换(分割,补形,旋转等),因此,既要熟记基本图形中元素得位置关系与度量关系,也要能在复杂背景图形中“剥出”基本图形。
四、典型例题
例1、在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F、G、H分别为棱BC、CC1、C1D1、AA1得中点,O为AC与BD得交点(如图),求证:(1)EG∥平面BB1D1D;(2)平面BDF∥平面B1D1H;(3)A1O⊥平面BDF;(4)平面BDF⊥平面AA1C。
解析:
(1)欲证EG∥平面BB1D1D,须在平面BB1D1D内找一条与EG平行得直线,构造辅助平面BEGO’及辅助直线BO’,显然BO’即就是。 (2)按线线平行线面平行面面平行得思路,在平面B1D1H内寻找B1D1与O’H两条关键得相交直线,转化为证明:B1D1∥平面BDF,O’H∥平面BDF。
（3）为证A1O⊥平面BDF,由三垂线定理,易得BD⊥A1O,再寻A1O垂直于平面BDF内得另一条直线。 猜想A1O⊥OF。借助于正方体棱长及有关线段得关系计算得:A1O+OF=A1FA1O⊥OF。 (4)∵ CC1⊥平面AC
∴ CC1⊥BD 又BD⊥AC ∴ BD⊥平面AA1C 又BD平面BDF ∴ 平面BDF⊥平面AA1C
例2、在正方体ABCD—A1B1C1D1中,M为DD1中点,O为底面ABCD得中心,P为棱A1B1上任意一点,则直线OP与直线AM所成得角就是
A、 B、 C、 D、 解析:
取P点得特殊点A1,连OA1,在底面上过O作OE⊥AD于E,连A1E ∵ OE⊥平面ADD1A1,AM⊥A1E 根据三垂线定理,得:AM⊥OA1 ∴ 选D
评注:化“动”为“定”就是处理“动”得思路
例3、如图,三棱锥D—ABC中,平面ABD、平面ABC均为等腰直角三角形,∠ABC= ∠BAD=90,其腰BC=a,且二面角D—AB—C=60。 （1）求异面直线DA与BC所成得角; （2）求异面直线BD与AC所成得角; （3）求D到BC得距离;
（4）求异面直线BD与AC得距离。 解析:
（1）在平面ABC内作AE∥BC,从而得∠DAE=60 ∴ DA与BC成60角
（2）过B作BF∥AC,交EA延长线于F,则∠DBF为BD与AC所成得角 由△DAF易得AF=a,DA=a,∠DAF=120 ∴ DF=a+a-2a·()=3a ∴ DF=a
△DBF中,BF=AC=a ∴ cos∠DBF=
∴ 异面直线BD与AC成角arccos (3)∵ BA⊥平面ADE
∴ 平面DAE⊥平面ABC
故取AE中点M,则有DM⊥平面ABC;取BC中点N,由MN⊥BC,根据三垂线定理,DN⊥BC
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∴ DN就是D到BC得距离 在△DMN中,DM=a,MN=a ∴ DN=a
(4)∵ BF平面BDF,AC平面BDF,AC∥BF
∴ AC∥平面BDF 又BD平面BDF
∴ AC与BD得距离即AC到平面BDF得距离 ∵ , ∴
由,即异面直线BD与AC得距离为
评注:三棱锥得等体积变换求高,也就是求点到面距离得常用方法。
例4、如图,在60得二面角α—CD—β中,ACα,BDβ,且ACD=45,tg∠BDC=2,CD=a,AC=x,BD=x,当x为何值时,A、B得距离最小？并求此距离。
解析:
作AE⊥CD于E,BF⊥CD于F,则EF为异面直线AE、BF得公垂段,AE与BF成60角,可求得|AB|=,当x=时,|AB|有最小值。 评注:转化为求异面直线上两点间距离得最小值。
例5、如图,斜三棱柱ABC—A’B’C’中,底面就是边长为a得正三角形,侧棱长为 b,侧棱AA’与底面相邻两边AB、AC都成45角,求此三棱柱得侧面积与体积。
解析:
在侧面AB’内作BD⊥AA’于D 连结CD
∵ AC=AB,AD=AD,∠DAB=∠DAC=45 ∴ △DAB≌△DAC
∴ ∠CDA=∠BDA=90,BD=CD ∴ BD⊥AA’,CD⊥AA’
∴ △DBC就是斜三棱柱得直截面 在Rt△ADB中,BD=AB·sin45=
∴ △DBC得周长=BD+CD+BC=(+1)a,△DBC得面积= ∴ S侧=b(BD+DC+BC)=(+1)ab ∴ V=·AA’=
评注:求斜棱柱得侧面积有两种方法,一就是判断各侧面得形状,求各侧面得面积之与,二就是求直截面得周长与侧棱得乘积,求体积时同样可以利用直截面,即V=直截面面积×侧棱长。
例6、在三棱锥P—ABC中,PC=16cm,AB=18cm,PA=PB=AC=BC=17cm,求三棱锥得体积VP-ABC。 解析:
取PC与AB得中点M与N ∴
在△AMB中,AM=BM=17-8=25×9 ∴ AM=BM=15cm,MN=15-9=24×6 ∴ S△AMB=×AB×MN=×18×12=108(cm) ∴ VP-ABC=×16×108=576(cm)
评注:把一个几何体分割成若干个三棱锥得方法就是一种用得较多得分割方法,这样分割得结果,一方面便于求体积,另一方面便于利用体积得相关性质,如等底等高得锥体得体积相等,等底得两个锥体得体积得比等于相应高得比,等等。
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同步练习
（一）选择题
1、?1∥?2,a,b与?1,?2都垂直,则a,b得关系就是
A、平行 B、相交 C、异面 D、平行、相交、异面都有可能 2、异面直线a,b,a⊥b,c与a成30,则c与b成角范围就是
A、[60,90] B、[30,90] C、[60,120] D、[30,120]
3、正方体AC1中,E、F分别就是AB、BB1得中点,则A1E与C1F所成得角得余弦值就是 A、 B、 C、 D、
4、在正△ABC中,AD⊥BC于D,沿AD折成二面角B—AD—C后,BC=AB,这时二面角B—AD—C大小为
A、60 B、90 C、45 D、120
5、一个山坡面与水平面成60得二面角,坡脚得水平线(即二面角得棱)为AB,甲沿山坡自P朝垂直于AB得方向走30m,同时乙沿水平面自Q朝垂直于AB得方向走30m,P、Q都就是AB上得点,若PQ=10m,这时甲、乙2个人之间得距离为
A、 B、 C、 D、
6、E、F分别就是正方形ABCD得边AB与CD得中点,EF交BD于O,以EF为棱将正方形折成直二面角如图,则∠BOD= A、135 B、120 C、150 D、90
7、三棱锥V—ABC中,VA=BC,VB=AC,VC=AB,侧面与底面ABC所成得二面角分别为α,β,γ(都就是锐角),则cosα+cosβ+cosγ等于
A、1 B、2 C、 D、
8、正n棱锥侧棱与底面所成得角为α,侧面与底面所成得角为β,tanα∶tanβ等于 A、 B、 C、 D、
9、一个简单多面体得各面都就是三角形,且有6个顶点,则这个简单多面体得面数就是 A、4 B、6 C、8 D、10
10、三棱锥P—ABC中,3条侧棱两两垂直,PA=a,PB=b,PC=c,△ABC得面积为S,则P到平面ABC得距离为 A、 B、 C、 D、
11、三棱柱ABC—A1B1C1得体积为V,P、Q分别为AA1、CC1上得点,且满足AP=C1Q,则四棱锥B—APQC得体积就是 A、 B、 C、 D、
12、多面体ABCDEF中,已知面ABCD就是边长为3得正方形,EF∥AB,EF=,EF与面AC得距离为2,则该多面体得体积为 A、 B、5 C、6 D、 （二）填空题
13、已知异面直线a与b所成得角就是50,空间有一定点P,则过点P与a,b所成得角都就是30得直线有________条。 14、线段AB得端点到平面α得距离分别为6cm与2cm,AB在α上得射影A’B’得长为3cm,则线段AB得长为__________。 15、正n棱锥相邻两个侧面所成二面角得取值范围就是____________。
16、如果一个简单多面体得每个面都就是奇数得多边形,那么它得面数就是__________。 （三）解答题
17、如图,在斜边为AB得直角三角形ABC中,过A作AP⊥平面ABC,AE⊥PB于E,AF⊥PC于F,CG⊥AB于G,CD⊥PB于D。 (1)求证∠AEF=∠CDG;(2)求△AEF面积得最大值。
18、等边三角形ABC得边长为a,沿平行BC得线段PQ折起,使平面APQ⊥平面PBCQ,设点A到直线PQ得距离为x,AB得长为d
（1）x为何值时,d取得最小值,最小值就是多少？ （2）若∠BAC=θ,求cosθ得最小值。
19、如图,ABCD就是矩形,其4个顶点在平面α得同一侧,且它们在平面α内得射影分别为A’,B’,C’,D’,直线A’B与C’D’不重合,
（1）求证:A’B’C’D’就是平行四边形;
（2）在怎样得条件下,A’B’C’D’就是矩形？并证明您得结论。
20、正三棱锥V—ABC得底面边长为a,侧棱与底面所成得角等于θ(θ>),过底面一边作此棱锥得截面,当截面与底面所成二面角为何值时,截面面积最小？并求出最小值。
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参考答案
（一）选择题
1、D 2、A 3、C 4、A 5、B 6、B 7、A 8、B 9、C 10、B 11、B 12、D （二）填空题
13、2 14、5或 15、() 16、偶数 （三）解答题 17、(2) 18、(1) (2)
19、(2)一边与α平行或在α内 20、
高三一轮复习讲座九立体几何
