高考数学复习优质学案
近几年全国各地的模拟试题、高考试题中频繁出现一类考查函数导数的题型：在给定区间内研究两函数之间的不等关系. 要解决这类问题，往往是直接构造某个新函数，或者分离变量之后构造新的函数，通过研究构造的新函数的单调性来求出最值或者得到我们想要的不等关系. 这一类问题多数与指数函数有关，解题时除了直接构造一元函数求解，还可将问题转化为对数问题，再用对数平均不等式求解，本文对此类问题做一探究.
★（2016年新课标I卷理数压轴21题）已知函数
f(x)?(x?2)ex?a(x?1)2有两个零点x1,x2.证明：x1?x2?2.
法二：参变分离再构造差量函数
由已知得：f?x1??f?x2??0，不难发现x1?1，x2?1，
x1?2?ex?故可整理得：?a?2?x1?1?1?x2?2?ex ?2?x2?1?2 1
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x?2?ex?设g?x??，则g?x1??g?x2? 2?x?1?那么g'?x???x?2?3?1ex，当x?1时，g'?x??0，g?x?单调递减；当
?x?1?x?1时，g'?x??0，g?x?单调递增．
2设m?0，构造代数式：
g?1?m??g?1?m??m?11?m?m?11?m1?m1?m?m?12m?e?e?2e?e?1? m2m2m?m?1?设h?m??m?1e2m?1，m?0[优质试题]
m?1则h'?m??2m2?m?1?2e2m?0，故h?m?单调递增，有h?m??h?0??0．
因此，对于任意的m?0，g?1?m??g?1?m?．
由g?x1??g?x2?可知x1、x2不可能在g?x?的同一个单调区间上， 不妨设x1?x2，则必有x1?1?x2
令m?1?x1?0，则有g??1??1?x????g??1??1?x????g?2?x??g?x??g?x?
11112而
2?x1?1，
x2?1，g?x?在?1,???上单调递增，因此：
g?2?x1??g?x2??2?x1?x2
整理得：x1?x2?2． 法三：参变分离再构造对称函数
?x?2?ex由法二，得g?x??，构造G(x)?g(x)?g(2?x),(x?(??,1))， 2x?1??利用单调性可证，此处略.
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法五：利用“对数平均”不等式
(2?x1)ex1(2?x2)ex2参变分离得：a??(x1?1)2(x2?1)2，由a?0得，x1?1?x2?2，
(2?x1)(2?x2)?x?ln?x2， 1(x1?1)2(x2?1)2将上述等式两边取以e为底的对数，得ln化简得：[ln(x1?1)2?ln(x2?1)2]?[ln(2?x1)?ln(2?x2)]?x1?x2，
[ln(x1?1)2?ln(x2?1)2][ln(2?x1)?ln(2?x2)]故1? ?x1?x2x1?x2
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极值点偏移含指数式的极值点偏移问题(12)
