高等数学部份易混淆概念
第一章：函数与极限
一、数列极限大小的判断
例1：判毕命题是不是正确．
若xn?yn(n?N)，且序列xn,yn的极限存在，limxn?A,limyn?B,则A?B
n??n??解答：不正确．在题设下只能保证A?B，不能保证A?B．例如：xn?,yn?xn?yn,?n，而limxn?limyn?0．
n??n??1n1，n?1例2．选择题
设xn?zn?yn，且lim(yn?xn)?0,则limzn（ ）
n??n?? A．存在且等于零 B. 存在但不必然等于零 C．不必然存在 D. 必然不存在 答：选项C正确
分析：若limxn?limyn?a?0，由夹逼定理可得limzn?a?0，故不选A与D.
n??n??n?? 取xn?(?1)n?,yn?(?1)n?,zn?(?1)n，则xn?zn?yn，且lim(yn?xn)?0，但limzn
n??n??1n1n不存在，所以B选项不正确，因此选C．
例3．设xn?a?yn,且lim(yn?xn)?0,则{xn}与{yn}（ ）
n?? A．都收敛于a B. 都收敛，但不必然收敛于a C．可能收敛，也可能发散 D. 都发散 答：选项A正确．
分析：由于xn?a?yn,，得0?a?xn?yn?xn，又由lim(yn?xn)?0及夹逼定理得
n??lim(a?xn)?0
n?? 因此，limxn?a，再利用lim(yn?xn)?0得limyn?a．所以选项A．
n??n??n??二、无界与无穷大
无界：设函数f(x)的概念域为D，若是存在正数M，使得
f(x)?M?x?X?D
则称函数f(x)在X上有界，若是如此的M不存在，就成函数f(x)在X上无界；也就是说若是对于任何正数M，总存在x1?X，使f(x1)?M，那么函数f(x)在X上无界．
无穷大：设函数f(x)在x0的某一去心邻域内有概念（或x大于某一正数时有概念）．若是对于任意给定的正数M（不论它何等大），总存在正数?（或正数，只要x适合不等式0?x?x0??（或x?X），对应的函数值f(x)总知足不X）等式
f(x)?M
则称函数f(x)为当x?x0（或x??）时的无穷大． 例4：下列叙述正确的是： ② ① 若是f(x)在x0某邻域内无界，则limf(x)??
x?x0② 若是limf(x)??，则f(x)在x0某邻域内无界
x?x0解析：举反例说明．设f(x)?sin，令xn?1x1x12n???2,yn?1,，当n???时，n?xn?0,yn?0，而
? limf(xn)?lim(2n??)???
n???n???2 limf(yn)?0
n???故f(x)在x?0邻域无界，但x?0时f(x)不是无穷大量，则①不正确．
由概念，无穷大必无界，故②正确．
结论：无穷大必无界，而无界未必无穷大．
三、函数极限不存在?极限是无穷大
当x?x0（或x??）时的无穷大的函数f(x)，按函数极限概念来讲，极限是不存在的，可是为了便于叙述函数的性态，咱们也说“函数的极限是无穷大”．但极限不存在并非代表其极限是无穷大．
?x?1?例5：函数f(x)??0?x?1?x?0x?0x?0，当x?0时f(x)的极限不存在．
四、若是xlim?x0f(x)?0不能退出limx?x01?? f(x)例6：f(x)???x?0x为有理数1，则limf(x)?0，但由于在x?0的任一邻域的
x?x0x为无理数f(x)无理点均没有概念，故无法讨论
1在x?0的极限． f(x)结论：若是limf(x)?0，且f(x)在x0的某一去心邻域内知足f(x)?0，则
x?x0x?x0lim11为无穷小。 ??．反之，f(x)为无穷大，则
f(x)f(x)五、求函数在某点处极限时要注意其左右极限是不是相等，求无穷大处极限要注意自变量取正无穷大和负无穷大时极限是不是相等。
例7．求极限lime,lime
x??x?0x1x解：limex???,limex?0，因此x??时ex极限不存在。
x???x??? lime?0,lime???，因此x?0时e极限不存在。
x?0?x?0?1x1x1x六、利用等价无穷小求极限时要注意：
（1）乘除运算中能够利用等价无穷小因子替换，加减运算中由于用等价无穷小替换是有条件的，故统一不用。这时，一般能够用泰勒公式来求极限。
（2）注意等价无穷小的条件，即在哪一点能够用等价无穷小因子替换
例8：求极限limx?01?x?1?x?2 x2分析一：若将1?x?1?x?2写成(1?x?1)?(1?x?1)，再用等价无穷小替换就会致使错误。
分析二：用泰勒公式
海文考研钻石卡系列——容易混淆的概念之数学四
