2 、运用公式法进行因式分解
【知识精读】
把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。 主要有：平方差公式 完全平方公式
a2?b2?(a?b)(a?b)
3a2?2ab?b2?(a?b)2
322 立方和、立方差公式 a?b?(a?b)?(a?ab?b) 补充：欧拉公式：
a?b?c?3abc?(a?b?c)(a?b?c?ab?bc?ca) ?3332221(a?b?c)[(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2] 2333 特别地：（1）当a?b?c?0时，有a?b?c?3abc
（2）当c?0时，欧拉公式变为两数立方和公式。
运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。但有时需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式。个人收集整理 勿做商业用途 用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用。因此，正确掌握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。个人收集整理 勿做商业用途 下面我们就来学习用公式法进行因式分解 【分类解析】
1. 把a?2a?b?2b分解因式的结果是（ ） A. (a?b)(a?2)(b?2) C. (a?b)(a?b)?2
2222B. (a?b)(a?b?2) D. (a?2b)(b?2a)
2222
22 分析：a?2a?b?2b?a?2a?1?b?2b?1?(a?1)?(b?1)。 再利用平方差公式进行分解，最后得到(a?b)(a?b?2)，故选择B。
说明：解这类题目时，一般先观察现有项的特征，通过添加项凑成符合公式的形式。同时要注意分解一定要彻底。
2. 在简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的应用 例：已知多项式2x?x?m有一个因式是2x?1，求m的值。
分析：由整式的乘法与因式分解互为逆运算，可假设另一个因式，再用待定系数法即可求出m的值。
321 / 8
解：根据已知条件，设2x?x?m?(2x?1)(x?ax?b) 则2x?x?m?2x?(2a?1)x?(a?2b)x?b
3232322?2a?1??1?? 由此可得?a?2b?0???m?b 由（1）得a??1
(1)(2) (3)1 211 把b?代入（3），得m?
22 把a??1代入（2），得b?
3. 在几何题中的应用。
例：已知a、b、c是?ABC的三条边，且满足a?b?c?ab?bc?ac?0，试判断?ABC的形状。
分析：因为题中有a、b、?ab，考虑到要用完全平方公式，首先要把?ab转成
22222?2ab。所以两边同乘以2，然后拆开搭配得完全平方公式之和为0，从而得解。个人收集整理 勿做商业用途 解：?a?b?c?ab?bc?ac?0 ?2a?2b?2c?2ab?2bc?2ac?0
?(a?2ab?b)?(b?2bc?c)?(c?2ac?a)?0 ?(a?b)?(b?c)?(c?a)?0 ?(a?b)?0，(b?c)?0，(c?a)?0 ?a?b?0，b?c?0，c?a?0 ?a?b?c
??ABC为等边三角形。
4. 在代数证明题中应用
例：两个连续奇数的平方差一定是8的倍数。
分析：先根据已知条件把奇数表示出来，然后进行变形和讨论。 解：设这两个连续奇数分别为2n?1，2n?3（n为整数） 则(2n?3)?(2n?1)
222222222222222222222 / 8
?(2n?3?2n?1)(2n?3?2n?1) ?2(4n?4)
?8(n?1) 由此可见，(2n?3)?(2n?1)一定是8的倍数。
5、中考点拨：
例1：因式分解：x?4xy?________。
解：x?4xy?x(x?4y)?x(x?2y)(x?2y)
说明：因式分解时，先看有没有公因式。此题应先提取公因式，再用平方差公式分解彻底。
例2：分解因式：2xy?8xy?8xy?_________。
解：2xy?8xy?8xy?2xy(x?4xy?4y)?2xy(x?2y) 说明：先提取公因式，再用完全平方公式分解彻底。
题型展示： 例1. 已知：a?23223223222322232232111m?1，b?m?2，c?m?3， 22222 求a?2ab?b?2ac?c?2bc的值。 解：a?2ab?b?2ac?c?2bc ?(a?b)?2c(a?b)?c ?(a?b?c) ?a?222222111m?1，b?m?2，c?m?3 2222 ?原式?(a?b?c)
11?1???(m?1)?(m?2)?(m?3)?22?2??12m42
说明：本题属于条件求值问题，解题时没有把条件直接代入代数式求值，而是把代数式因式分解，变形后再把条件带入，从而简化计算过程。个人收集整理 勿做商业用途 3 / 8
例2. 已知a?b?c?0，a?b?c?0， 求证：a5?b5?c5?0
证明：?a?b?c?3abc?(a?b?c)(a?b?c?ab?bc?ca) ?把a?b?c?0，a?b?c?0代入上式， 可得abc?0，即a?0或b?0或c?0 若a?0，则b??c， ?a?b?c?0
若b?0或c?0，同理也有a?b?c?0 说明：利用补充公式确定a，b，c的值，命题得证。
例3. 若x?y?27，x?xy?y?9，求x?y的值。 解：?x?y?(x?y)(x?xy?y)?27 且x?xy?y?9
?x?y?3，x?2xy?y?9(1) 又x?xy?y?9 两式相减得xy?0 所以x?y?9
说明：按常规需求出x，y的值，此路行不通。用因式分解变形已知条件，简化计算过程。
【实战模拟】 1. 分解因式：
（1）(a?2)?(3a?1) （2）x(x?2y)?x(2y?x)
（3）a(x?y)?2a(x?y)?(x?y) 2. 已知：x?22342233333322233355555533222233222222(2)
22225211??3，求x4?4的值。 xx4 / 8
3. 若a，b，c是三角形的三条边，求证：a?b?c?2bc?0 4. 已知：????1?0，求?22222001的值。
333 5. 已知a，b，c是不全相等的实数，且abc?0，a?b?c?3abc，试求 （1）a?b?c的值；（2）a(?)?b(?
1b1c1c111)?c(?)的值。 aab5 / 8
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