高中数学第四章-三角函数
考试内容：
角的概念的推广．弧度制．
任意角的三角函数．单位圆中的三角函数线．同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的诱导公式．
两角和与差的正弦、余弦、正切．二倍角的正弦、余弦、正切．
正弦函数、余弦函数的图像和性质．周期函数．函数y=Asin(ωx+φ)的图像．正切函数的图像和性质．已知三角函数值求角． 正弦定理．余弦定理．斜三角形解法．
考试要求：
（1）理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算．
（2）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式；了解周期函数与最小正周期的意义． （3）掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式． （4）能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明．
（5）理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图，理解A.ω、φ的物理意义．
（6）会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx\\arc-cosx\\arctanx表示．
（7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形． （8）“同角三角函数基本关系式：sin2α+cos2α=1，sinα/cosα=tanα,tanα?cosα=1”．
§04. 三角函数 知识要点
1. ①与?（0°≤?＜360°）终边相同的角的集合（角?与角?的终边重合）：
??|??k?360???,k?Z?
3sinx4cosxcosx▲y2sinx1cosx②终边在x轴上的角的集合： ??|??k?180?,k?Z? ③终边在y轴上的角的集合：??|??k?180?90,k?Z?
??xcosx4sinx2sinx3④终边在坐标轴上的角的集合：??|??k?90?,k?Z? ⑤终边在y=x轴上的角的集合：??|??k?180??45?,k?Z? ⑥终边在y??x1SIN\\COS三角函数值大小关系图1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域轴上的角的集合：??|??k?180?45,k?Z?
??⑦若角?与角?的终边关于x轴对称，则角?与角?的关系：??360?k?? ⑧若角?与角?的终边关于y轴对称，则角?与角?的关系：??360?k?180??? ⑨若角?与角?的终边在一条直线上，则角?与角?的关系：??180?k?? ⑩角?与角?的终边互相垂直，则角?与角?的关系：??360?k???90?
高三数学总复习—三角函数
2. 角度与弧度的互换关系：360°=2? 180°=? 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式： 1rad＝180°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝
??180≈0.01745（rad）
3、弧长公式：l?|?|?r. 扇形面积公式：s扇形?12lr?12|?|?r
y24、三角函数：设?是一个任意角，在?的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）P与原点的距离为r，则 sin?cos??xr?yr； rya的终边P（x,y)； tan??yx； cot??xy； sec??rx；. csc??. rox5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦） ++ox--正弦、余割y-+o-+x余弦、正割y-+ox+-正切、余切OyyPTMAx
6、三角函数线
正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT.
7. 三角函数的定义域：
sinx>cosxOx16. 几个重要结论:(1)y(2)y|sinx|>|cosx||cosx|>|sinx|O|cosx|>|sinx|xcosx>sinx|sinx|>|cosx|?(3) 若 o 222 cos?sin??cot? 2sec??cos??1 22sin??cos??1 sec??tan??1 csc??cot??1 9、诱导公式： 把k?2 ??的三角函数化为?的三角函数，概括为：高三数学总复习—三角函数 “奇变偶不变，符号看象限” 三角函数的公式：（一）基本关系 公式组二 公式组三 公式组一sinx·cscx=1cosx·secx=1tanx·cotx=1tanx=x=sinxcosxsinx+cosx=11+tanx=secx2222sin2(k??x)?sinxcos2(k??x)?cosxtan2(k??x)?tanxcot2(k??x)?cotxsin?(x)??sinx cos x 2 2sinx cos?(x)?cosxtan?(x)??tanxcot?(x)??cotx 1+cotx=cscx公式组四 公式组五 公式组六 sin(??x)??sinxcos(??x)??cosxtan(??x)?tanxcot(??x)?cotxsin2(??x)??sinxsin?(?x)?sinxcos2(??x)?cosxtan2(??x)??tanxcot2(??x)??cotxcos?(?x)??cosxtan?(?x)??tanxcot?(?x)??cotx （二）角与角之间的互换 公式组一 公式组二 ?cos? cos(???)?cos?cos??sin?sin? sin2??2sincos(???)?cos?cos??sin?sin?sin(???)?sin?cos??cos?sin?2222 cos2??cos??sin??2cos??1?1?2sin? tan2??2tan?1?tan2? sin(???)?sin?cos??cos?sin?sin?2??1?cos?2tan(???)?tan??tan?1?tan?tan?tan??tan?1?tan?tan? cos?2??1?cos?2 sin?1?cos?1?cos?sin?tan(???)? tan 11212?2??1?cos?1?cos???公式组三 公式组四 公式组五 2tansin??1?tan?22sin?cos??2?sin???sin???cos??????sin????????sin??????cos(121212???)?sin????)?cos????)?cot??2 cos ?sin????????sin(tan(cos?cos??????cos????1?tancos??1?tan2?22?2 sin?sin???12?cos??????cos????sin??sin??2sinsin??sin??2cos???2???2???cossincos???2???2???2???2cos(tan(sin(121212???)??sin?2tantan??1?tan?22???)??cot????)?cos????26?4 cos??cos??2coscos??cos???2sin22???2sinsin15??cos75??,sin75??cos15??6?42,tan15??cot75??2?3,tan75?cot15?2?3. 高三数学总复习—三角函数 10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质： 定义域 值域 周期性 奇偶性 单调性 y?sinx y?cosxy?tanx1???x|x?R且x?k???,k?Z?2?? y?cotxy?Asin??x??? （A、?＞0） R R [?1,?1] R [?1,?1] ?x|x?R且x?k?,k?Z?R ? R ? ??A,A? 2? 2? 奇函数 ?22? ? 偶函数 [?2k?1??,奇函数 ?????k?,?k????2?2?奇函数 当?当??0,?0,非奇非偶 奇函数 [??2k?,2k?]；?k?,?k?1???上为减函数（k?Z） ?2?2k?]上为增函上为增函数数（k?Z） [2k?,上为增函数[；?2k?,?2k?]?2k?1??] ???2k??????2(A),???????1?2k??????2?(?A)?????22上为减函数 （k?Z） 上为增函数； ???2k??????2(A),???????32k???????2(?A)?????3?上为减函数（k?Z） 注意：①y??sinx与y?sinx的单调性正好相反；y??cosx与y?cosx反.一般地，若y?f(x)在[a,b]上递增（减），则y??f(x)在[a,b]上递减（增）. ▲上为减函数（k?Z） 的单调性也同样相y②y?sinx与y?cosx的周期是?. ?cos(?x??)??③y?sin(?x??)或yy?tanx2（??0）的周期T?2??. Ox的周期为2?（T??T?2?，如图，翻折无效）. ?2④y?sin(?x??)的对称轴方程是x对称轴方程是x原点对称?k??（k?Z），对称中心（k?,0）；y?12?(soc?x??)的 ?k?（k?Z），对称中心（k?；y?,0） ?(nat（?x??)的对称中心 k?2. ,0） y?cos2x?????y??cos(?2x)??cos2x tan?⑤当tan?· ?1,????k???2(k?Z)tan?；tan?· ??1,????k???2(k?Z). ⑥y?cosx??与y?sin??2k??是同一函数,而y?(?x??)是偶函数，则 ?x??2?12y?(?x??)?sin(?x?k???)??cos(?x). 高三数学总复习—三角函数 ⑦函数y?tanx在R上为增函数.（×） [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，y?tanx为增函数，同样也是错误的]. ⑧定义域关于原点对称是f(x)具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：f(?x)??f(x)） f(?x)?f(x)，奇函数： 奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：y?tanx是奇函数，y?tan(x?1?)是非奇非偶.（定 3义域不关于原点对称） 奇函数特有性质：若0?x的定义域，则f(x)一定有质） ▲f(0)?0.（0?x的定义域，则无此性 ⑨y?sinx不是周期函数；y?sinx为周期函数（T??）； y▲yx1/2xy?cosx是周期函数（如图）；y?cosx为周期函数（T??）； y=cos|x|图象y?cos2x?12的周期为?（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如： y=|cos2x+1/2|图象y?f(x)?5?f(x?k),k?R. ⑩y?acos??bsin??a?b22sin(???)?cos??ba 有a2?b2?y. 11、三角函数图象的作法： １）、几何法： ２）、描点法及其特例——五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线）. ３）、利用图象变换作三角函数图象． 三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等． 函数y＝Asin（ωx＋φ）的振幅|A|，周期T?2?|?|，频率f?1T?|?|2?，相位?x??;初相?（即当x＝0时的相位）．（当A＞0，ω＞0 时以上公式可去绝对值符号）， 由y＝sinx的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|＞1）或缩短（当0＜|A| ＜1）到原来的|A|倍，得到y＝Asinx的图象，叫做振幅变换或叫沿y轴的伸缩变换．（用y/A替换y） 由y＝sinx的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0＜|ω|＜1）或缩短（|ω|＞1）到原来的|1?|倍，得到 y＝sinω x的图象，叫做周期变换或叫做沿x轴的伸缩变换．(用ωx 替换x) 由y＝sinx的图象上所有的点向左（当φ＞0）或向右（当φ＜0）平行移动｜φ｜个单位，得到y＝sin（x＋φ）的图象，叫做相位变换或叫做沿x轴方向的平移．(用x＋φ替换x) 由y＝sinx的图象上所有的点向上（当b＞0）或向下（当b＜0）平行移动｜b｜个单位，得到y＝sinx＋b的图象叫做沿y轴方向的平移．（用y+(-b)替换y） 高三数学总复习—三角函数
三角函数知识点总结
