考点： 二次函数综合题． 专题： 压轴题．
分析： （1）根据AO=OB=2，∠AOB=120°，求出A点坐标，以及B点坐标，进而利用待定系数法求二次函数解
析式；
（2）根据（1）中解析式求出M点坐标，再利用锐角三角函数关系求出∠FOM=30°，进而得出答案；
（3）分别根据当△ABC1∽△AOM以及当△C2AB∽△AOM时，利用相似三角形的性质求出C点坐标即可．
解答： 解：（1）过点A作AE⊥y轴于点E，
∵AO=OB=2，∠AOB=120°， ∴∠AOE=30°， ∴AE=1，EO=， ∴A点坐标为：（﹣1，），B点坐标为：（2，0）， 将两点代入y=ax2+bx得：
，
解得：，
∴抛物线的表达式为：y=x2﹣
x；
（2）过点M作MF⊥OB于点F， ∵y=
x2﹣
x=
（x2﹣2x）=
），
（x2﹣2x+1﹣1）=
（x﹣1）2﹣
，
∴M点坐标为：（1，﹣
∴tan∠FOM=
=，
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∴∠FOM=30°，
∴∠AOM=30°+120°=150°；
（3）∵AO=OB=2，∠AOB=120°， ∴∠ABO=∠OAB=30°， ∴AB=2EO=2， 当△ABC1∽△AOM， ∴
=
，
=
，
∵MO=
∴=，
解得：BC1=2，∴OC1=4， ∴C1的坐标为：（4，0）； 当△C2AB∽△AOM， ∴∴
==
， ，
解得：BC2=6，∴OC2=8， ∴C2的坐标为：（8，0）．
综上所述，△ABC与△AOM相似时，点C的坐标为：（4，0）或（8，0）．
点评： 此题主要考查了锐角三角函数的应用以及待定系数法求二次函数解析式和相似三角形的性质等知识，利用
分类讨论思想以及数形结合得出是解题关键．
25．（14分）（2013?上海）在矩形ABCD中，点P是边AD上的动点，连接BP，线段BP的垂直平分线交边BC于点Q，垂足为点M，联结QP（如图）．已知AD=13，AB=5，设AP=x，BQ=y． （1）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（2）当以AP长为半径的⊙P和以QC长为半径的⊙Q外切时，求x的值；
（3）点E在边CD上，过点E作直线QP的垂线，垂足为F，如果EF=EC=4，求x的值．
考点： 四边形综合题． 专题： 压轴题．
分析： （1）利用相似三角形△ABP∽△MQB，求出y关于x的函数解析式；注意求x的取值范围时，需考虑计算
x最大值与最小值的情形；
（2）如答图1所示，利用相外切两圆的性质，求出PQ的长；利用垂直平分线的性质PQ=BQ，列方程求出x的值；
（3）如答图2所示，关键是证明△CEQ∽△ABP，据此列方程求出x的值．
解答： 解：（1）在Rt△ABP中，由勾股定理得：BP2=AP2+AB2=x2+25．
∵MQ是线段BP的垂直平分线，
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∴BQ=PQ，BM=BP，∠BMQ=90°， ∴∠MBQ+∠BQM=90°，
∵∠ABP+∠MBQ=90°，∴∠ABP=∠BQM， 又∵∠A=∠BMQ=90°， ∴△ABP∽△MQB， ∴
，即
，化简得：y=
BP2=
（x2+25）．
当点Q与C重合时，BQ=PQ=13，在Rt△PQD中，由勾股定理定理得：PQ2=QD2+PD2，即132=52+（13﹣
x）2，解得x=1；
又AP≤AD=13，∴x的取值范围为：1≤x≤13． ∴y=
（x2+25）（1≤x≤13）．
（2）当⊙P与⊙Q相外切时，如答图1所示：
设切点为M，则PQ=PM+QM=AP+QC=AP+（BC﹣BQ）=x+（13﹣y）=13+x﹣y； ∵PQ=BQ，
∴13+x﹣y=y，即2y﹣x﹣13=0 将y=
（x2+25）代入上式得：（x2+25）﹣x﹣13=0，
，
解此分式方程得：x=经检验，x=∴x=
．
是原方程的解且符合题意．
（3）按照题意画出图形，如答图2所示，连接QE．
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∵EF=EC，EF⊥PQ，EC⊥QC，∴∠1=∠2（角平分线性质）． ∵PQ=BQ，∴∠3=∠4，
而∠1+∠2=∠3+∠4（三角形外角性质），∴∠1=∠3． 又∵矩形ABCD，∴AD∥BC，∴∠3=∠5， ∴∠1=∠5，又∵∠C=∠A=90°， ∴△CEQ∽△ABP， ∴将y=
，即
，化简得：4x+5y=65，
（x2+25）=65，
（x2+25）代入上式得：4x+
，
解此分式方程得：x=经检验，x=∴x=
．
是原方程的解且符合题意，
点评： 本题是中考压轴题，难度较大．试题的难点在于：其一，所考查的知识点众多，包括相似三角形的判定与
性质、矩形的性质、勾股定理、圆的位置关系、角平分线的性质、垂直平分线的性质、解分式方程与一元二次方程等，对数学能力要求很高；其二，试题计算量较大，需要仔细认真计算，避免出错．
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参与本试卷答题和审题的老师有：caicl；sd2011；gbl210；HJJ；sks；HLing；wdxwwzy；CJX；hdq123；未来；ZJX；星期八；lantin；zjx111；zhjh（排名不分先后） 菁优网
2013年12月10日
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2013年上海市中考数学真题试题(含答案)
