文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.
第九章 振动
9-1 一个质点作简谐运动，振幅为A，在起始时刻质点的位移为?动，代表此简谐运动的旋转矢量为（ ）
题９-１ 图
A，且向x 轴正方向运2分析与解（b）图中旋转矢量的矢端在x 轴上投影点的位移为－A/2，且投影点的运动方向指向Ox 轴正向，即其速度的x分量大于零，故满足题意．因而正确答案为（b）．
9-2 已知某简谐运动的振动曲线如图（a）所示，则此简谐运动的运动方程为（ ）
题９-２ 图
分析与解 由振动曲线可知，初始时刻质点的位移为 –A/2，且向x 轴负方向运动．图（ｂ）是其相应的旋转矢量图，由旋转矢量法可知初相位为2π/3．振动曲线上给出质点从–A/2 处运动到+A 处所需时间为1 s，由对应旋转矢量图可知相应的相位差Δ?4π/3，则角频率ω?Δ/Δt??4π/3?s?1，故选（D）．本题也可根据振动曲线所给信息，逐一代入方程来找出正确答案．
9-3 两个同周期简谐运动曲线如图（a） 所示， x1 的相位比x2 的相位（ ） （A） 落后
ππ （B）超前 （C）落后π （D）超前π 22题９-３ 图
分析与解 由振动曲线图作出相应的旋转矢量图（b） 即可得到答案为（b）． 9-4 当质点以频率ν 作简谐运动时，它的动能的变化频率为（ ） （A）
v （B）v （C）2v （D）4v 21分析与解 质点作简谐运动的动能表式为Ek?m?2A2sin2??t???，可见其周期为简谐
29-5 图（a）中所画的是两个简谐运动的曲线，若这两个简谐运动可叠加，则合成的余弦
运动周期的一半，则频率为简谐运动频率ν的两倍．因而正确答案为（C）． 振动的初相位为（ ） （A）
13π （B）π （C）π （D）0
22分析与解 由振动曲线可以知道，这是两个同振动方向、同频率简谐运动，它们的相位差
Acos?ωt?π?．它们的振幅不同．对2A于这样两个简谐运动，可用旋转矢量法，如图（b）很方便求得合运动方程为x1?cos?t．因
2是?（即反相位）．运动方程分别为x1?Acos?t和x2?而正确答案为（D）．
题９-５ 图
9-6 有一个弹簧振子，振幅A?2.0?10
?2m，周期T?1.0s，初相?3π/4．试写出
文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.
它的运动方程，并作出x?t图、v?t图和a?t图．
题９-6 图
分析 弹簧振子的振动是简谐运动．振幅A、初相?、角频率?是简谐运动方程
x?Acos??t???的三个特征量．求运动方程就要设法确定这三个物理量．题中除A、?已知
外，?可通过关系式ω?2π/T确定．振子运动的速度和加速度的计算仍与质点运动学中的计算方法相同．
解 因ω?2π/T，则运动方程 根据题中给出的数据得 振子的速度和加速度分别为
x?t、v?t及a?t图如图所示．
9-7 若简谐运动方程为x?0.10cos?20πt?0.25π??m?，求：（1） 振幅、频率、角频率、
周期和初相；（2）t?2s时的位移、速度和加速度．
分析 可采用比较法求解．将已知的简谐运动方程与简谐运动方程的一般形式
x?Acos??t???作比较，即可求得各特征量．运用与上题相同的处理方法，写出位移、速度、
加速度的表达式，代入t值后，即可求得结果．
解 （1） 将x?0.10cos?20πt?0.25π??m?与x?Acos??t???比较后可得：振幅A ＝0.10m，角频率ω?20πs，初相?＝0.25π，则周期T?2π/ω?0.1s，频率v?1/THz．
（２）t?2s时的位移、速度、加速度分别为
9-8 一远洋货轮，质量为m，浮在水面时其水平截面积为S．设在水面附近货轮的水平截面积近似相等，水的密度为ρ，且不计水的粘滞阻力，证明货轮在水中作振幅较小的竖直自由运动是简谐运动，并求振动周期．
分析 要证明货轮作简谐运动，需要分析货轮在平衡位置附近上下运动时，它所受的合外力F与位移x间的关系，如果满足F??kx，则货轮作简谐运动．通过F??kx即可求得振动周期T?2π/ω?2πm/k．
证 货轮处于平衡状态时［图（a）］，浮力大小为F ＝mg．当船上下作微小振动时，取货轮处于力平衡时的质心位置为坐标原点O，竖直向下为x 轴正向，如图（b）所示．则当货轮向下偏移x 位移时，受合外力为
其中F?为此时货轮所受浮力，其方向向上，大小为
题９-８ 图
?1则货轮所受合外力为
式中k??gS是一常数．这表明货轮在其平衡位置上下所作的微小振动是简谐运动．
由
222F?mdx/dt可得货轮运动的微分方程为 ?令???gS/m，可得其振动周期为
9-9 设地球是一个半径为R 的均匀球体，密度??5.5?10kg?m．现假定沿直径凿通一条隧道，若有一质量为m 的质点在此隧道内作无摩擦运动．（1） 证明此质点的运动是简谐运动；（2） 计算其周期．
3?3文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.
题９-９ 图
分析 证明方法与上题相似．分析质点在隧道内运动时的受力特征即可．
证 （1） 取图所示坐标．当质量为m 的质点位于x处时，它受地球的引力为
3式中G为引力常量，mx是以x 为半径的球体质量，即mx?4πρx/3．令k?4πρGm/3，则质点受力
因此，质点作简谐运动．
（2） 质点振动的周期为
9-10 如图（a）所示，两个轻弹簧的劲度系数分别为k1、k2 ．当物体在光滑斜面上振动时．（1） 证明其运动仍是简谐运动；（2） 求系统的振动频率．
题9-10 图
分析 从上两题的求解知道，要证明一个系统作简谐运动，首先要分析受力情况，然后看是否满足简谐运动的受力特征（或简谐运动微分方程）．为此，建立如图（b）所示的坐标．设系统平衡时物体所在位置为坐标原点O，Ox 轴正向沿斜面向下，由受力分析可知，沿Ox 轴，物体受弹性力及重力分力的作用，其中弹性力是变力．利用串联时各弹簧受力相等，分析物体在任一位置时受力与位移的关系，即可证得物体作简谐运动，并可求出频率?．
证 设物体平衡时两弹簧伸长分别为x1、x2，则由物体受力平衡，有
mgsin??k1x1?k2x2 （1）
?和x2?，??x2?．按图（b）所取坐标，物体沿x 轴移动位移x时，两弹簧又分别被拉伸x1即x?x1则
物体受力为
???mgsin??k1?x1?x1?? （２） F?mgsin??k2?x2?x2将式（1）代入式（2）得
???k1x1? （３）F??k2x2
???F/k1、x2???F/k2，而x?x1??x2?，则得到 由式（3）得x1式中k?k1k2/?k1?k2?为常数，则物体作简谐运动，振动频率
讨论 （1） 由本题的求证可知，斜面倾角θ 对弹簧是否作简谐运动以及振动的频率均不产生影响．事实上，无论弹簧水平放置、斜置还是竖直悬挂，物体均作简谐运动．而且可以证明它们的频率相同，均由弹簧振子的固有性质决定，这就是称为固有频率的原因．（2） 如果振动系统如图（c）（弹簧并联）或如图（d）所示，也可通过物体在某一位置的受力分析得出其作简谐运动，且振动频率均为v?12π读者可以一试．通过这些例子可以知道，?k1?k2?/m，
证明物体是否作简谐运动的思路是相同的．
－11 在如图（a）所示装置中，一劲度系数为k 的轻弹簧，一端固定在墙上，另一端
连接一质量为m1的物体A，置于光滑水平桌面上．现通过一质量m、半径为R 的定滑轮B（可视为匀质圆盘）用细绳连接另一质量为m2的物体C．设细绳不可伸长，且与滑轮间无相对滑动，求系统的振动角频率．
题9-11 图
*9
文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.
分析 这是一个由弹簧、物体A、C 和滑轮B 组成的简谐运动系统．求解系统的振动频率可采用两种方法．（1） 从受力分析着手．如图（b）所示，设系统处于平衡状态时，与物体A 相连的弹簧一端所在位置为坐标原点O，此时弹簧已伸长x0，且kx0?m2g．当弹簧沿Ox轴正向从原点O 伸长x 时，分析物体A、C 及滑轮B的受力情况，并分别列出它们的动力学方程，可解得系统作简谐运动的微分方程．（2）从系统机械能守恒着手．列出系统机械能守恒方程，然后求得系统作简谐运动的微分方程．
解1 在图（b）的状态下，各物体受力如图（c）所示．其中F??k?x?x0?i．考虑到绳子不可伸长，对物体A、B、C 分别列方程，有
d2xFT1??k?x?x0??m12 （1）
dtd2xm2g?FT2?m22 （2）
dt1d2x?FT2?FT1?R?J??mR2 （3）
2dtkx0?m2g （4）
方程（3）中用到了FT2?FT?2、FT1?FT?1、J?mR2/2及??a/R．联立式（1） ～式（4） 可得
d2xk ?x?0 （5）
dt2m1?m2?m/2则系统振动的角频率为
解2 取整个振动装置和地球为研究系统，因没有外力和非保守内力作功，系统机械能守恒．设物体平衡时为初始状态，物体向右偏移距离x（此时速度为v、加速度为a）为末状态，则由机械能守恒定律，有
在列出上述方程时应注意势能（重力势能和弹性势能）零点的选取．为运算方便，选初始状态下物体C 所在位置为重力势能零点；弹簧原长时为弹性势能的零点．将上述方程对时间求导得 将J?mR2/2，ωR?v，dv/dt?d2x/dt2 和m2g?kx0 代入上式，可得
d2xk ?x?0 （6）
dt2m1?m2?m/2式（6）与式（5）相同，表明两种解法结果一致．
9-12 一放置在水平桌面上的弹簧振子，振幅A＝2.0 ×10-2 m，周期T＝0.50ｓ．当t＝0 时，（1） 物体在正方向端点；（2） 物体在平衡位置、向负方向运动；（3） 物体在x ＝-1.0×10-2m 处， 向负方向运动； （4） 物体在x＝-1.0×10-2 m处，向正方向运动．求以上各种情况的运动方程．
分析 在振幅A 和周期T 已知的条件下，确定初相φ是求解简谐运动方程的关键．初相的确定通常有两种方法．（1） 解析法：由振动方程出发，根据初始条件，即t ＝0 时，x ＝x0 和v ＝v0 来确定φ值．（2） 旋转矢量法：如图（a）所示，将质点P 在Ox 轴上振动的初
文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.
始位置x0 和速度v0 的方向与旋转矢量图相对应来确定φ．旋转矢量法比较直观、方便，在分析中常采用．
题9-12 图
解 由题给条件知A ＝2.0 ×10-2 m，ω?2/T?4πs，而初相φ可采用分析中的两种不同方法来求．
解析法：根据简谐运动方程x?Acos??t???，当t?0时有x0?Acos??t???，
?1v0??Aωsin．当（1）x0?A时，cos?1?1，则?1?0；
ππ（2）x0?0时，cos?2?0，2??，因v0?0，取2?；
22ππ?2（3）x0?1.0?10m时，cos?3?0.5，3?? ，由v0?0，取3?；
334ππ?2（4）x0??1.0?10m时，cos?4??0.5，4?π? ，由v0?0，取4?．
33旋转矢量法：分别画出四个不同初始状态的旋转矢量图，如图（b）所示，它们所对应的初相分别为?1?0，
2?π，23?π，34?4π． 3振幅A、角频率ω、初相φ均确定后，则各相应状态下的运动方程为
?m?
?2（2）x?2.0?10cos?4πt?π/2??m?
?2（3）x?2.0?10cos?4πt?π/3??m?
?2（4）x?2.0?10cos?4πt?4π/3??m?
（1）x?2.0?10?2cos4πt9-13 有一弹簧， 当其下端挂一质量为m 的物体时， 伸长量为9.8 ×10-2 m．若使物体上、下振动，且规定向下为正方向．（1） 当t ＝0 时，物体在平衡位置上方8.0 ×10-2 ｍ 处，由静止开始向下运动，求运动方程．（2） 当t ＝０ 时，物体在平衡位置并以0.6ｍ·s-1的速度向上运动，求运动方程．
分析 求运动方程，也就是要确定振动的三个特征物理量A、ω和φ．其中振动的角频率是由弹簧振子系统的固有性质（振子质量m 及弹簧劲度系数k）决定的，即??k/m，k 可根
据物体受力平衡时弹簧的伸长来计算；振幅A 和初相φ需要根据初始条件确定．
题9-13 图
解 物体受力平衡时，弹性力F 与重力P 的大小相等，即F ＝mg．而此时弹簧的伸长量Δl ＝9.8 ×10-2m．则弹簧的劲度系数k ＝F ／Δl ＝mg ／Δl．系统作简谐运动的角频率为 （1） 设系统平衡时，物体所在处为坐标原点，向下为x 轴正向．由初始条件t ＝0 时，x10 ＝8.0 ×10-2 m、v10 ＝0 可得振幅A?确定初相
12x10??v10/???8.0?10?2m；应用旋转矢量法可
2?π［图（a）］．则运动方程为
2x20??v20/???6.0?10?2m；
2 （2）t ＝０ 时，x20 ＝0、v20 ＝0.6 ｍ·s-1 ，同理可得A2?2?π/2［图（b）］．则运动方程为
9-14 某振动质点的x-t 曲线如图（a）所示，试求：（1） 运动方程；（2） 点P 对应的
大学物理第五版下册第九章到第十一章课后答案
