第八章 非线性控制系统分析
练习题及答案
8-2 设一阶非线性系统的微分方程为
???x?x3 x试确定系统有几个平衡状态，分析平衡状态的稳定性，并画出系统的相轨迹。 解 令x??0 得
?x?x3?x(x2?1)?x(x?1)(x?1)?0
系统平衡状态
xe?0,?1,?1
其中：xe?0 ：稳定的平衡状态；
xe??1,?1 ：不稳定平衡状态。
计算列表，画出相轨迹如图解8-1所示。
x -2 -1 ?13 0 13 1 2 x? -6 0 0.385 0 -0.385 0 6 ??x 11 2 0 1 0 2 11 图解8-1 系统相轨迹
可见：当x(0)?1时，系统最终收敛到稳定的平衡状态；当x(0)?1时，系统发散；x(0)??1时，x(t)???; x(0)?1时，x(t)??。
?~x平面上任意分布。 注：系统为一阶，故其相轨迹只有一条，不可能在整个x
8-3 试确定下列方程的奇点及其类型，并用等倾斜线法绘制相平面图。
??x?0 (1) ??x?x (5) ??1?x1?x2?x
??x2?2x1?x2 解 （1） 系统方程为
1
???x??x?0(x?0)x??:?
??x??x?0(x?0)x???:?令????0，得平衡点：xe?0。 x?x系统特征方程及特征根：
?132?:s?s?1?0,s???j?1,2 ?22???:s2?s?1?0,s??1.618,?0.6181,2??dx???f(x,x?)??x??x,???x??xxxdx
x?dx?1??????1?,xx??x?dxx1????I: ???II:??(稳定的焦点)(鞍点)
???1???11?(x?0)
??1(x?0)计算列表 ? x?0: x?0:
用等倾斜线法绘制系统相平面图如图解8-2（a）所示。
-∞ -3 -1 -1/3 0 1/3 1 3 ∞ ???1?1? -1 -2/3 0 2 -∞ -4 -2 -4/3 -1 ???1?1? -1 -4/3 -2 -4 ∞ 2 0 -2/3 -1 2
图解8-2（a）系统相平面图
?1?x1?x2 ① （5） x?2?2x1?x2 ② x?1?x1 ③ 由式①： x2?x?1)?2x1?(x?1?x1) x1?x式③代入②： (???1?x1?0 ④ x1?2x即 ???1?0 x1?x令 ??得平衡点： xe?0 由式④得特征方程及特征根为 s2?2s?1?0画相轨迹，由④式
?1,2?2.414（鞍点） ????0.414?1dx?1??2x?1?x1 ?xdxx x?1?1
??2 ???1x1?x 计算列表
3
? ?=1/(?-2) 2 ∞ 2.5 2 3 1 ∞ 0 1 -1 1.5 -2 2 ∞ 用等倾斜线法绘制系统相平面图如图解8-2（b）所示。 8-4 若非线性系统的微分方程为
??0.5)x??x?x2?0 (1) ??x?(3x (2) ???xx??x?0 x试求系统的奇点，并概略绘制奇点附近的相轨迹图。 解（1） 由原方程得
?)??(3x??0.5)x??x?x2??3x?2?0.5x??x?x2 ??x?f(x,x?1?0 x1?x令 ??得 x?x2?x(x?1)?0 解出奇点 xe?0,在xe?0处：
?1
在奇点处线性化处理。
??x?
?)?f(x,x?xx?0??0x?x??)?f(x,x?xx?0??0x??x
??0.5)x?x???x?0.5x??(?1?2x)x?x??0?x?(?6x?x??0??0.5x??x?0 即 ?x特征方程及特征根
0.5?0.52?4 s1,2??0.25?j0.984 （不稳定的焦点）
2 在xe??1处 ???(?1?2x)xx??1??0x??0.5)?x?(?6xx??1??0x??x?0.5x? ?x??0.5x??x?0 即 ?x特征根 s1,20.5?0.52?4?1.218 （鞍点） ???2??0.718概略画出奇点附近的相轨迹如图解8-4（1）所示：
4
（2） 由原方程
?)??xx??x x?f(x,x ????0 得奇点 xe?0,在奇点处线性化 令 ??x?x
???x?f?x?x???0x?x?f??x??x??0x?x
??1)x?x??(?x?x?xx?x?x??0??0???x 得 ?x??x?0 即 ?x特征根 s1,2??j。奇点xe?0（中心点）处的相轨迹如图解8-4(2)所示。
8-5 非线性系统的结构图如图8-36所示。 系统开始是静止的，输入信号r(t)?4?1(t)，试写出开关线方程，确定奇点的位置和类型，画出该系统的相平面图，并分析系统的运动特点。
解 由结构图，线性部分传递函数为
C(s)1?2 M(s)s??(t)?m(t) ① 得 c由非线性环节有
?0e?2?? m(t)??e(t)?2e?2???e(t)?2e??2????由综合点得
②
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自动控制原理第八章习题答案
