4.5.3函数模型的应用
分层演练 综合提升 A级 基础巩固
1.某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖,引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物,已知该动物的繁殖数量y(单位:只)与引入时间x(单位:年)的关系为y=alog2 (x+1),若该动物在引入一年后的数量为100只,则第7年它们发展到 ( )
A.300只 B.400只 C.600只 D.700只 答案:A
2.由于电子技术的飞速发展,计算机的成本不断降低,若每隔5年计算机的价格降低,
31
则现在价格为8 100元的计算机经过15年的价格为 ( )
A.2 300元 答案:C
3.某种细胞在正常培养过程中,时刻t(单位:min)与细胞数n(单位:个)的部分数据如下表:
B.2 800元 C.2 400元 D.2 000元
t/min n/个
0 1
20 2
60 8
140 128
根据表中数据,推测繁殖到1 000个细胞时的时刻t最接近于 ( ) A.200 min B.220 min C.240 min D.260 min 答案:A
4.设在海拔x m处的大气压强为y kPa,y与x的函数关系可近似地表示为y=100e.若在海拔1 000 m处的大气压强为90 kPa,则根据函数解析式,在海拔2 000 m处的大气压强为81 kPa.
5.某医学专家为研究传染病传播中病毒细胞的发展规律,将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行试验,经检测,病毒细胞的个数与天数的记录如下表:
天数 病毒细胞的个数
1 1
2 3 4 5 6 2 4 8 6 2
ax
已知该病毒细胞在小白鼠体内的个数超过10的时候小白鼠将死亡,但注射某种药物,可杀死其体内该病毒细胞的98%.为了使小白鼠在试验过程中不死亡,第一次最迟应在何时注射该种药物(精确到天,lg 2≈0.301 0)?
解:由题意,知第一次注射药物前病毒细胞个数y关于天数n(n∈N)的函数解析式为
*8
y=2n-1(n∈N*).为了使小白鼠在试验过程中不死亡,则2n-1≤108,两边取对数,得n≤27.578,即
第一次最迟应在第27天注射该种药物.
B级 能力提升
6.有浓度为90%的溶液100 g,从中倒出10 g后再倒入10 g水称为一次操作,要使浓度低于10%,这种操作至少应进行的次数为(参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)
( ) A.19
B.20 C.21 D.22
910
n+1
解析:操作次数为n时的浓度为,由
910
n+1
<10%,得n+1>
-1
9lg10
=
-1
2lg3-1
≈21.8,所以
n≥21.
答案:C
7.某科技股份有限公司为激励创新,打破发达国家的芯片垄断,计划逐年增加研发资金投入,若该公司2017年全年投入的研发资金为100万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长10%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据:lg 1.1≈0.041,lg 2≈0.301) ( )
A.2023年 B.2024年 C.2025年 D.2026年
解析:设从2017年后,第n(n∈N)年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元,由题意可得100×(1+10%)>200,即1.1>2,两边取对数可得n>lg1.1≈0.041≈7.3,则n≥8,即该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2025年.
答案:C
8.某食品的保鲜时间t(单位:h)与储藏温度x(单位:℃)满足函数解析式
nn*lg20.301
t={
64,??≤0,
且该食品在4 ℃的保鲜时间是16 h.已知甲在某日上午10时购买了该食品,
2????+6,??>0,
并将其遗放在室外,且此日的室外温度随时间变化的图象如图所示.
给出以下四个结论:
①该食品在储藏温度为6 ℃的保鲜时间是8 h;
②当x∈[-6,6]时,该食品的保鲜时间t随着储藏温度x的增大而逐渐减少;
③到了此日13时,甲所购买的食品还在保鲜时间内. 其中,所有正确结论的序号是①.
解析:由题意,知当x=4时,t=16, 所以2
4k+6
=16=2,所以4k+6=4,所以k=-2, -+6??24
1
所以当x>0时,t=2
3
.
当x=6时,t=2=8(h),故①正确. 因为当x≤0时,t=64,故②不正确. 由题图,知此日13时储藏温度为10 ℃, 当x=10时,t=2,已过保鲜时间,故③不正确. 综上,正确答案为①.
9.国际视力表值(又叫小数视力值,用V表示,范围是[0.1,1.5])和我国现行视力表值(又叫对数视力值,由缪天容创立,用L表示,范围是[4.0,5.2])的换算解析式为L=5.0+lg V.
(1)请根据此解析式将下面视力对照表补充完整.
V L
1.5 ①
② 5.0
0.4 ③
④ 4.0
(2)甲、乙两位同学检查视力,其中甲的对数视力值为4.5,乙的小数视力值是甲的小数视力值的2倍,求乙的对数视力值.(所求值均精确到小数点后面一位数字,参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)
解:(1)因为5.0+lg 1.5=5.0+lg10=5.0+lg2=5.0+
15
3
lg 3-lg 2≈5.0+0.477 1-0.301 0≈5.2, 所以①处应填5.2.因为5.0=5.0+lg V, 所以V=1,②处应填1.0.
因为5.0+lg 0.4=5.0+lg=5.0+lg 4-1=5.0+2lg 2-1≈5.0+2×0.301 0-1≈4.6,所以
104
③处应填4.6.
因为4.0=5.0+lg V,所以lg V=-1,所以V=0.1. 所以④处应填0.1. 对照表补充完整如下:
V L
1.5 1.0 0.4 0.1 5.2 5.0 4.6 4.0
-0.5
(2)先将甲的对数视力值换算成小数视力值,则有4.5=5.0+lg V甲,所以V甲=10=2×10
-0.5
,则V乙
.
-0.5
所以乙的对数视力值L乙=5.0+lg(2×10)=5.0+lg 2-0.5≈5.0+0.301 0-0.5≈4.8.
C级 挑战创新
10.多空题某个细菌经30 min数量变为原来的2倍,且该种细菌的繁殖规律为y=e,其中k为常数,t表示时间(单位:h),y表示繁殖后细菌总个数,则k=2ln 2,经过5 h,1个细菌通过繁殖,个数变为1 024.
解析:由题意,知当t=2时,y=2, 即2=e2??,所以k=2ln 2,所以y=e当t=5时,y=e
2×5×ln 2
10
kt1
1
2tln 2
.
=2=1 024.
即经过5 h,1个细菌通过繁殖,个数变为1 024.
2020秋新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4.5.3函数模型的
