江西省上犹中学 1
动点轨迹问题专题讲解
一．专题内容：
求动点P(x, y)的轨迹方程实质上是建立动点的坐标x, y之间的关系式，首先要分析形成轨迹的点和已知条件的内在联系，选择最便于反映这种联系的坐标形式，寻求适当关系建立等式，常用方法有： （1）等量关系法：根据题意，列出限制动点的条件等式，这种求轨迹的方法叫做等量关系．．．．．法，利用这种方法时，要求对平面几何中常用的定理和解析几何中的有关基本公式很熟悉． （2）定义法：如果动点满足的条件符合某种已知曲线（如圆锥曲线）的定义，可根据其定．．．义用待定系数法求出轨迹方程．
（3）转移代入法：如果所求轨迹上的点P(x, y)是随另一个在已知曲线C：F(x, y)?0上．．．．．的动点M(x0, y0)的变化而变化，且x0, y0能用x, y表示，即x0?f(x, y)，y0?g(x, y)，则将x0, y0代入已知曲线F(x, y)?0，化简后即为所求的轨迹方程．
（4）参数法：选取适当的参数（如直线斜率k等），分别求出动点坐标x, y与参数的关系．．．式，得出所求轨迹的参数方程，消去参数即可． （5）交轨法：即求两动直线交点的轨迹，可选取同一个参数，建立两动直线的方程，然后．．．消去参数，即可（有时还可以由三点共线，斜率相等寻找关系）． 注意：轨迹的完备性和纯粹性！一定要检验特殊点和线！ 二．相关试题训练
（一）选择、填空题
1．（ ）已知F1、F2是定点，|F1F2|?8，动点M满足|MF1|?|MF2|?8，则动点M的轨迹是 （A）椭圆 （B）直线 （C）圆 （D）线段
2．（ ）设M(0,5)，N(0,?5)，?MNP的周长为36，则?MNP的顶点P的轨迹方程是
x2y2x2y2??1（x?0） （B）??1（x?0） （A）
25169144169x2y2x2y2??1（y?0） （D）??1（y?0） （C）
169251691443．与圆x?y?4x?0外切，又与y轴相切的圆的圆心轨迹方程是 ；
22x2y2??1上运动，则?F1F2P的重心G的轨迹方程4．P在以F1、F2为焦点的双曲线
169是 ；
225．已知圆C：(x?3)?y?16内一点A(3, 0)，圆C上一动点Q， AQ的垂直平
1
江西省上犹中学 2
x2?y2?1 分线交CQ于P点，则P点的轨迹方程为 ．46．△ABC的顶点为A(?5, 0)、B(5, 0)，△ABC的内切圆圆心在直线x?3上，则顶
x2y2??1（x?3） 点C的轨迹方程是 ；
916x2y2??1的右支上一点，F1、F2分别是左、右焦点，则△PF1F2变式：若点P为双曲线
916的内切圆圆心的轨迹方程是 ；
x2y2??1上任一点，F1、F2分别是左、右焦点，圆M与线段F1P推广：若点P为椭圆
259的延长线、线段PF2及x轴分别相切，则圆心M的轨迹是 ；
7．已知动点M到定点A(3,0)的距离比到直线x?4?0的距离少1，则点M的轨迹方程是 ．(y?12x)
8．抛物线y?2x的一组斜率为k的平行弦的中点的轨迹方程是 ．
22k2k(x?（y?）)
849．过抛物线y?4x的焦点F作直线与抛物线交于P、Q两点，当此直线绕焦点F旋转时， 弦PQ中点的轨迹方程为 ． 解法分析：解法1 当直线PQ的斜率存在时，
设PQ所在直线方程为 y?k(x?1)与抛物线方程联立，
2?y?k(x?1),2222 消去y得 kx?(2k?4)x?k?0． ?2?y?4x设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，PQ中点为M(x,y)，则有
?x1?x2k2?2x??,??2k2 消k得y2?2(x?1)． ??y?k(x?1)?2.?k?2
江西省上犹中学 3
当直线PQ的斜率不存在时，易得弦PQ的中点为F(1,0)，也满足所求方程． 故所求轨迹方程为y?2(x?1)． 解法2 设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，
2??y1?4x1,由? 得(y1?y2)(y1?y2)?4(x1?x2)，设PQ中点为M(x,y)，
2??y2?4x2.2当x1?x2时，有2y?所以，y?y1?y2y?4，又kPQ?kMF?，
x1?x2x?1y?2，即y2?2(x?1)． x?1当x1?x2时，易得弦PQ的中点为F(1,0)，也满足所求方程． 故所求轨迹方程为y?2(x?1)．
10．过定点P(1, 4)作直线交抛物线C:y?2x于A、B两点, 过A、B分别作抛物线C的切线交于点M, 则点M的轨迹方程为_________．y?4x?4
22（二）解答题
1．一动圆过点P(0, 3)，且与圆x?(y?3)?100相内切，求该动圆圆心C的轨迹方程． （定义法）
22x2y2??1的左顶点A1作任意弦A1E并延长到F，使|EF|?|A1E|，A2为2．过椭圆
369椭圆另一顶点，连结OF交A2E于点P， 求动点P的轨迹方程．
（直接法、定义法；突出转化思想）
y F EPA1OA2xx2y2 是椭圆上关于长轴AA对称的两3．已知A1、A2是椭圆2?2?1的长轴端点，P、Q12ab点，求直线PA1和QA2的交点M的轨迹．（交轨法）
4．已知点G是△ABC的重心，A(0,?1), B(0,1)，在x轴上有一点M，满足
uuuruuuuruuuuruuur|MA|?|MC|，GM??AB ???R?．
3
江西省上犹中学 4
（1）求点C的轨迹方程；（2）若斜率为k的直线l与点C的轨迹交于不同两点P、Q，且满
uuuruuur足|AP|?|AQ|，试求k的取值范围．
解：（1）设C(x,y)，则由重心坐标公式可得G(,)．
uuuuruuurx∵ GM??AB ，点M在x轴上，∴ M(,0)．
3uuuruuuur∵ |MA|?|MC|，A(0,?1)，∴
xy33x2x2x22()?1?(x?)?y，即 ?y2?1． 333x2?y2?1（y??1）故点C的轨迹方程为．（直接法） 3（2）设直线l的方程为y?kx?b（b??1），P(x1,y1)、Q(x2,y2)，PQ的中点为N． 由??y?kx?b,22?x?3y?3.22消y，得(1?3k)x?6kbx?3(b?1)?0．
2222222∴ ??36kb?12(1?3k)(b?1)?0，即1?3k?b?0． ①
?6k2b2b6kby?y?k(x?x)?2b??2b?又x1?x2??，∴， 12122221?3k1?3k1?3k∴ N(?3kbb,)． 221?3k1?3kuuuruuur∵ |AP|?|AQ|，∴ AN?PQ，∴ kANb?1211??，即 1?3k??，
3kbkk?1?3k2∴ 1?3k?2b，又由①式可得 2b?b?0，∴ 0?b?2且b?1．
22∴ 0?1?3k?4且1?3k?2，解得?1?k?1且k??223． 3故k的取值范围是?1?k?1且k??3． 3uuuruuuuruuuruuuur5．已知平面上两定点M(0,?2)、N(0,2)，P为一动点，满足MP?MN?PN?MN．
（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（直接法）
uuuruuur（Ⅱ）若A、B是轨迹C上的两动点，且AN??NB．过A、B两点分别作轨迹C的切线，uuuruuur设其交点为Q，证明NQ?AB为定值．
4
江西省上犹中学 5
uuuruuuuruuur解：(Ⅰ)设P(x,y)．由已知MP?(x,y?2)，MN?(0,4)，PN?(?x,2?y), uuuruuuurMP?MN?4y?8．
uuuruuuurPN?MN?4x2?(y?2)2，……………………………………………3分
uuuruuuuruuuruuuur∵MP?MN?PN?MN，
∴4y?8?4x2?(y?2)2． 整理，得 x?8y．
即动点P的轨迹C为抛物线，其方程为x?8y．
22uuuruuur|m?1）6．已知O为坐标原点，点E(?1,0)、动点A、，F(1,0)，N满足|AE|?m|EF（M、
uuuuruuuruuuuruuuruuur1uuuruuurMN?AF?0，ON?(OA?OF)，AM//ME．求点M的轨迹W的方程．
2uuuuruuuruuur1uuuruuur 解：∵MN?AF?0，ON?(OA?OF)，
2∴ MN垂直平分AF．
uuuuruuur又AM//ME，∴ 点M在AE上，
uuuuruuuruuuruuuruuuruuur∴ |AM|?|ME|?|AE|?m|EF|?2m，|MA|?|MF|， uuuruuuruuur∴ |ME|?|MF|?2m?|EF|，
∴ 点M的轨迹W是以E、F为焦点的椭圆，且半长轴a?m，半焦距c?1， ∴ b?a?c?m?1．
2222x2y2?1（m?1）∴ 点M的轨迹W的方程为2?2．
mm?1r7．设x,y?R，i,j为直角坐标系内x,y轴正方向上的单位向量，若向量a?xi?(y?2)j，rrrb?xi?(y?2)j， 且|a|?|b|?8．
（1）求点M(x,y)的轨迹C的方程；（定义法）
uuuruuuruuur（2）过点(0,3)作直线l与曲线C交于A、B两点，设OP?OA?OB，是否存在这样的
直线l，使得四边形OAPB是矩形？若存在，求出直线l的方程，若不存在，试说明理由．
5
高中数学动点轨迹问题专题讲解讲课讲稿
