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蒋殿春《高级微观经济学》
第8章 一般均衡
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1．一个二人经济中有两种商品。个体1开始有2单位x商品和2单位y商品；个体2开始只有2单位x商品；两人的效用函数分别是：
u1?x,y??x?lny，u2?x,y??lnx?lny
试求这个纯交换经济的瓦尔拉斯均衡价格和配置。
解：先将商品y的价格规范为1，设商品x的价格为p。二人的效用最大化问题分别为：
maxx1?lny1x1,y1 和
maxx2?lny2x2,y2
s..tpx1?y1?2p?2s..tpx2?y2?2p建立拉格朗日函数：
L1?x1?lny1??1?px1?y1?2p?2? L2?x2?lny2??2?px2?y2?2p?
一阶必要条件分别为：
??L1?x1?1??1p?0??L2?x2?1x2??2p?0??以及??L2?y2?1y2??2?0 ??L1?y1?1y1??1?0??L???px?y?2p?2?0??L???px?y?2p?0111222?1?2再加上市场出清条件x1?x2?4，y1?y2?2，瓦尔拉斯均衡价格和配置为：
?p,p???1,1?；?x,y???3,1?，?x,y???1,1?
xy1122
2．一个二人经济中有两种商品。个体1开始有30单位x商品，个体2开始有20单位y商品；两人的效用函数分别是：
u1?x,y??min?x,y?，u2?x,y??min?x,y12?
试求这个纯交换经济的瓦尔拉斯均衡价格和配置。 解：个体1和2的效用函数表明x和y是互补品。将1和2的无差异曲线绘制成Edgeworth方框如图8-1所示。
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图8-1
瓦尔拉斯均衡要求预算线与无差异曲线在同一点上（相切），由图8-1可知，在任何一种非0的价格水平下，满足双方效用最大化的分配都不会导致市场出清（典型情况是x商品的社会超额需求小于零，y商品的社会超额需求小于零），因此也不可能达到瓦尔拉斯均衡。在这个纯交换经济当中，瓦尔拉斯均衡点只能是Edgeworth方框的两个对角点O1或O2，对
???0或p1?0，即全部的产品无偿归某一个消费者所有。 应的均衡价格分别为p2
3．在一个两种商品、两个消费者的经济中，假设社会的初始禀赋是?x,y?。消费者i的马歇尔需求是??xi?p?,yi?p???,i?1,2。如果两个消费者都是非局部餍足的。
（1）证明：对任何价格p??px,py??0，
????px??xi?p??x??py??yi?p??y??0 ?i??i?（2）如果在价格p??0下x商品市场出清，证明y商品市场也必然同时出清。 证明：（1）设两消费者的初始禀赋分别为?ix,?iy，i?1,2，则他们的预算约束为：pxxi?pyyi?px?ix?py?iy i?1,2
两式相加并整理得：
xpx?x1?x2??1x??2??py?y1?y2??1y??2y??0
由于?1x??2x?x，?1y??2y?y，代入可得：px??xi?p??x??py??yi?p??y??0。
?i???????i（2）由（1）的结果，当价格p??0下x商品市场出清，则有x1?x2?x，代入得：
??p?y??yi?p??y??0 ?i?由于p??0，所以y1?y2?y，因此y市场也必然同时出清。
4．考虑8.1.2节中定义的映射（8.7）：g：Z?SH?1：
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gh?z??qh?max?0,khzh?1??max??0.kjzj??j?1H（1）验证：?z?Z，都有?gh?z??1；
h?1H（2）验证gh?z?是z的连续函数。
qh?max?0,khzh?1??max??0,kjzj??j?1H证明：（1）根据题意，?gh?q???h?1h?1HH??q??max?0,kz?hhhh?1h?1HH1??max??0,kjzj??j?1H
由于?qh?1，所以：
h?1HH?g?q??hh?11??max?0,khzh?1??max??0,kjzj??j?1h?1HH?1
（2）因为limgh?z????lim??0??0qh?max?0,khzh???1??max??0,kjzj????j?1H?qh?max?0,khzh?1??max??0,kjzj??j?1H所以gh?z??gh?z?，
是z的连续函数。
5．假设经济中每个个体的间接效用函数都有拟线性形式：
vi?p,m??fi?p??mi
p?是一个瓦尔拉斯均衡。证明：在p?附近总需求函数Xh?p?是ph的单减函数。
证明：由Roy等式，个体i对商品h的需求为：
xih?p????vi?p,mi??ph?vi?p,mi??mi???fi?p??ph
根据间接效用函数的拟凸性质，有：
?Xh?p??ph???ph?x?p????ihii?2fi?p?2?ph?0
因此，在p?附近总需求函数Xh?p?是ph的单减函数。
6．在什么情况下契约线将完全落在Edgeworth方框的一条边上？此时是否每个帕累托配置都对应一个瓦尔拉斯均衡（适当调整初始禀赋）？你的回答是否与福利经济学第二基本定理矛盾？
解：当对于所有禀赋约束下可能的配置结果x，消费者1的无差异曲线斜率都大于消费者2的无差异曲线斜率时，会出现角点解，即契约线将完全落在Edgeworth方框的一条边上。985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解
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此时通过适当调整初始禀赋，每个帕累托配置也都对应着一个瓦尔拉斯均衡。这一点与福利经济学第二基本定理相符。
7．证明：对于一个包含m个消费者、n个厂商、H种商品的经济，通过适当调整个体i?i?2,Km?的初始效用水平ui0，任何一个帕累托有效配置?xp,yp?都可以通过求解问题
（8.24）得到。
证明：任取一个帕累托有效配置?xp,yp?，指定ui0?ui?xip??i?2,Km?；记（8.24）的解?x?,y??，下面需要证明x??xp，y??yp。
为证明x??xp，只需证明x1??xp。因为如果不是这样，那么在x1p基础上更改其消费可改善个体1的福利，同时未损害其他个体的利益，这与帕累托有效矛盾。
对任何厂商j，任两种商品h和h?，yp都必须满足（8.24）的一阶必要条件，
?ui?xih?Fj?yjh?
?ui?xih??Fj?yjh?这样，在x??xp的前提下，就意味着y??yp。
8．假设经济中各个体的效用函数是ui?xi??i?1,?n?，定义社会福利函数
W?x,k???kiui?xi?
i?1n其中x??x1,?xn?，k??k1,?kn??0是每个分量都大于零的常向量。给定经济中的初始禀赋不变，证明：
（1）?k?0使得社会福利W?x,k?达到最大，则它必然是一个帕累托有效配置； （2）如果x??0是一个帕累托有效配置，且每一个ui是连续、单增的凹函数，则必然存在k?，使得函数W?x,k??的最大值解就是x?；（提示：使用福利经济学第二基本定理）
?（3）上一小问中的k???k1?,?kn?有什么经济学解释？
?，以及某个消费者证明：（1）如果x?不是帕累托有效配置，则存在另一个不同的配置x?i??ui?xi??，且uj?x?j??uj?x?i，使得ui?xj?。
?,k???kiui?x?i???kiui?xi???W?x?,k?与之相矛盾，所以它必然是一个帕累托从而W?xi?1i?1nn有效配置。
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（2）因为x是帕累托有效配置，适当调整经济中的初始禀赋，可使x?成为一个瓦尔拉斯均衡（福利经济学第二基本定理），令均衡价格为p?，则有以下均衡条件（效用最大化问题的一阶条件）成立：
?ui?xi???xih? ?i,h ??i?ph再考虑福利函数W?x,k?最大化问题：
max?kiui?xi?
is..t?xih??ih ?h?1,Kk?
i一阶必要条件是：存在uh?h?1,Kk?，使得：
ki?ui?xi??xih?uh ?i,h
而且在效用函数为连续凹函数的条件下，这也是充分条件。 令ki??1?i??i?1,Kn?，则x?满足上述最大化条件。
（3）由于ki??1?i?，而?i?是的拉格朗日系数，根据约束条件，可知?i?为消费者i对其初始货币化禀赋mi?p?i的边际效用，1ki???i???vi?p,m??mi。
9．在一个包含两种商品、两个消费者的经济中，依照下面步骤，利用价格提供线来简单地构造瓦尔拉斯均衡（回忆第4章图4-7定义的价格提供曲线）：
（1）证明，在Edgeworth方框中，两个个体的价格提供线都经过初始禀赋点，并且都处于两人过初始点处无差异曲线围成的透镜区域内；
（2）证明：初始点与个体i价格提供线上任一点的连线，必然与个体i过这一点的无差异曲线相切；
（3）证明：如果两人的价格提供线在Edgeworth方框内相交（除了初始点），这一交点必然是瓦尔拉斯均衡；
（4）结合（1）～（3），解释瓦尔拉斯均衡配置必然处于核中。 证明：（1）由个体i效用最大化一阶条件，可得：
ui?1?xi??xi1??i1??ui?2?xi??xi2??i2??0
这就是个体i需求的价格提供线方程。显然xi???i1,?i2?满足这一方程，故禀赋点在价格提供曲线上。另一方面，对任意价格p，消费者在交换后达到的无差异曲线不可能低于初始所在的无差异曲线，故此时的消费束位于两条过初始禀赋点的无差异曲线所围成的透镜区域中。
（2）由（1）中的价格提供曲线方程，初始点??i1,?i2?与价格提供曲线上任一点?xi1,xi2?985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解
连线的斜率为：
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xi2??i2ui?1k?1???MRS
ui?2xi??i1而无差异曲线的斜率也等于MRS，故二者相切。
??（3）如果两人的价格提供曲线相交于禀赋点之外的一点?x1,x2?，则由（2）中的征明
??结果，两人无差异曲线相切于?x1,x2?，从而该点就是一个瓦尔拉斯均衡。
（4）在价格p?下，两个消费者都达到了他们的最大效用，而且均衡配置所带来的效用不会低于他们在初始禀赋下的效用，从而该配置不会被任何一个联盟所淘汰，所以瓦尔拉斯均衡配置必然位于核中。
10．假设经济中只存在两种商品：x和y，有A和B两类消费者，每一类消费者都有相同的禀赋和偏好。如果个体的偏好是凸的，但不一定是严格凸的，同等待遇原则是否还成立？当经济中的人数增加时，非瓦尔拉斯均衡是否一定会被淘汰？
解：如果个体偏好的凸性是非严格的，同一类消费者处于同一条无差异曲线上的不同点时，二者的交换不一定能改善福利。如图8-2所示，（a）中只有在严格凸的假设下，才能肯定a1和a2连线的中点必定在更高的无差异曲线上。所以，可以肯定同类消费者在一个核配置中会达到同样的效用水平，但无法肯定他们的消费束是一致的。（b）中如果严格凸性不满足，经济中人数增加时，非瓦尔拉斯均衡不一定会被淘汰。
（a）同等待遇原则 （b）淘汰非瓦尔拉斯均衡
图8-2
11．考虑一个由消费者?A1,A2,B1,B2?组成、有两种商品的经济。如果A1和A2的消费束是一样的，而B1和B2处于不同的无差异曲线上。证明：这个配置必然会被某一联盟淘汰。
证明：假设B2处于较低的无差异曲线上，如图8-3所示。
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图8-3
A1和A2的消费束是一样的，而B1和B2处于不同的无差异曲线上，假设A1和A2同时消
?，消费束为图中的B，B2位于无费a1a2中点a代表的消费束，B1位于较高的无差异曲线UA
差异曲线UA，消费束为图中的b。很显然，A1、A2与B2通过交换可以达到更好地消费束，所以这个配置将被同盟?A1,B2?或?A2,B2?淘汰。
12．考虑一个两商品、人数相同的两群消费者构成的经济。A类消费者的初始禀赋是
?1,0?，效用函数uA?ax?by；B类消费者的初始禀赋是?0,1?，效用函数uB?min?cx,dy?。
a,b,c,d?0。
（1）求这个经济的竞争均衡（它是否是唯一的？）。
（2）在两类消费者都只有一个人的情况下，求这个经济的核。
（3）如果a?b，c?d。证明：只要每一群消费者的人数不小于2，那么所有核配置都是瓦尔拉斯均衡。
解：根据题意，得到图8-4。
图8-4
（1）如图8-4（a），一开始双方处于E0点。当（相对）价格为ab，经济在E点达到均衡，但这不是唯一的均衡点，另一个可选的均衡点是OB，对应的相对价格为0。 985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解
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（2）在两类消费者都只有一人的情况下，经济的核为（a）中虚线EOB所代表的点集。 （3）在条件a?b，c?d下，Edgeworth方框变为（b）中所示图形。考虑EOB线上除两端点（Walras均衡）以外的任一点F。一开始只有两个人A1和B1时，双方通过交换可达到F点；当引入一个新的B2，初始点在E0。A1和B2会同时发现二者间可通过交换增加自己的福利：只需A1牺牲一点x商品，换回一些y商品即可。极端情况下，A1可通过这一交换达到图中G点，同时B2达到H点，显然双方都处于更高的无差异曲线上。所以，配置F将被联盟?A1,B1,B2?淘汰。
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