19.如图，四棱锥S?ABCD的底面为矩形，平面SAB?平面ABCD，点E在线段SC上，且
BE?平面SAC.
（1）求证：AS?平面BCS；
（2）若点M是线段SD上靠近D的三等分点，点N在线段AB上，且MN//平面
BCS,BC?6,SC?35，求MN的值.
【答案】（1）见解析;（2）17. 【解析】 【分析】
（1）证明AS垂直面SBC内的两条相交直线BC、BE，即可证得结论；
（2）取N，O分别为AB，AS的三等分点，且NO//SB，连结ON，OM，利用面面平行证得线面平行，再利用勾股定理，即可得答案.
【详解】（1）∵平面SAB?平面ABCD，面SABI面ABCD?AB，BC?AB，BC?面ABCD， ∴BC?面SAB，又AS?面SAB，∴AS?BC. ∵BE?面SAC，AS?面SAC， ∴AS?BE，又BCIBE?B， ∴AS?面SBC.
（2）取N，O分别为AB，AS的三等分点，且NO//SB，连结ON，OM， ∵ON//SB，ON?面SBC，SB?面SBC， ∴ON//?面SBC，同理OM//面SBC， ∵OM，ON?面OMN，OMION?O， ∴面OMN//面SBC，
∵MN?面OMN，∴MN//面SBC. 由（1）得：OM?ON，
∴在直角三角形OMN中，ON?1，OM?4，
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∴MN?42?1?17.
【点睛】本题考查线面垂直判定定理、面面平行性质定理、线面平行判定定理的应用，考查转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力.
uuur1uuurPQ?x20.已知点P在圆O:x?y?4上运动，轴，垂足为Q，点A满足AQ?PQ.
222（1）求点A的轨迹E的方程；
（2）过点?0,?的直线l与曲线E交于M,N两点，记?OMN的面积为S，求S的最大值.
??3?2?x2【答案】（1）?y2?1;（2）1.
4【解析】 【分析】
（1）根据相关点代入求轨迹方程；
（2）显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为y?kx?3，将直线方程代入椭圆方程中得2(1?4k2)x2?12kx?5?0，得S?33616?2?，再利用一元二次函数的性质求最大值. 4tt【详解】（1）设A(x,y)，P(x1,y1)，
uuur1uuur∵AQ?PQ，∴A为PQ的中点，
2?x1?x,x222∴?∴x?(2y)?4，即?y2?1.
4?y1?2y,x2∴点A的轨迹E的方程?y2?1.
4（2）显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为y?kx?3， 2
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将直线方程代入椭圆方程中得(1?4k)x?12kx?5?0， ∴??144k?4?(1?4k)5?64k?20?0?k?设M(x1,y1),N(x2,y2)，
2222225. 16∴S?OMN?S?POM?S?PON213364k2?20 ???|x1?x2|??22241?4k2令t?1?4k(t?)，则k?94t?1， 4∴S?S?OMN?∵t?16(t?1)?203316t?3633616?????2?， 4t4t4tt9141234?0??，∴?时，S?OMN???1， 4t9t943∴S的最大值1.
【点睛】本题考查相关点带的话求椭圆的轨迹方程、直线与椭圆位置关系中三角形的面积最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意一元二次函数的性质求最值. 21.已知函数f?x??ax?1，其中a?0. xe（1）讨论函数f?x?的单调性；
x2（2）记函数g?x???x?f?x?的极小值为m，若4?me3?0成立，求实数a的取值范围.
e【答案】（1）在(??,【解析】 【分析】
（1）对函数进行求导得到
a?1a?1)单调递增，在(,??)单调递减;（2）?2?a?0. aaf'(x)??a(x?1?a)a，在解不等式即可得到单调区间；
2?aex?0恒成立，再利用
（2）利用导数求出函数的极小值为m，从而得到u(a)?4?(a?2)e导数研究u(a)的单调性，从而求得答案.
【详解】（1）∵
f'(x)?ae?(ax?1)e?2xexx?a(x?1?a)a，
ex- 18 -
∵a?0，
a?1a?1'，f(x)?0?x?， aaa?1a?1,??)单调递增，在区间(??,)单调递减. ∴f(x)在区间(aa∴f(x)?0?x?'x2ax?1?x2?ax?1（2）∵g?x???x?， ?xxeeex2?(a?2)x?1?a[x?(1?a)](x?1)∴g?x??， ?xxee'∵a?0，∴1?a?1，
∴g?x??0?x?1或x?1?a，g?x??0?1?x?1?a，
''∴g?x?在(1,1?a)单调递减，(1?a,??)单调递增， ∴g?x?极小值?g?1?a??∴4?me?4?3a?2， 1?aea?23?e?4?(a?2)e2?a?0， 1?ae2?a令u(a)?4?(a?2)e，
Qu'(a)?(a?1)e2?a?0在(??,0)恒成立，
?u(a)单调递减，且u(?2)?0，
∴?2?a?0时，4?me3?0成立， ∴实数a的取值范围是?2?a?0.
【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间、利用不等式恒成立求参数的取值范围，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
请考生在第22、23二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.
??x?2?2t22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为?（t为参数），以坐标原点为
??y?2t极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为?（1）求直线l的极坐标方程以及曲线C的直角坐标方程；
2?1?3sin???4.
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（2）若直线l与曲线C交于P,Q两点，求PQ的值.
【答案】（1）【解析】 分析】
??1sin(??)4?;x2?4y2?4;（2）.
83【得曲线的普通方程； 【详解】（1）∵?∵?∴直线l的极坐标方程为∵?22（1）消参即可得到直线的普通方程，再利用??x??cos?,可得直线的极坐标方程；进一步可
y??sin?,?（2）利用参数方程中参数的几何意义，可求得弦长.
??x?2?2t?x?y?2；
??y?2t?x??cos?,??cos???sin??2，
y??sin?,???1sin(??)4?.
?1?3sin???4??2?3?2sin2??4
22∴曲线C的直角坐标方程为x?4y?4.
?2t?x?2??2（2）把直线的参数方程化简为标准式为??y?2t?2?得到：3t2﹣4t﹣4＝0， 所以t1?t2?（t为参数），代入x2+4y2＝4，
44，t1t2??， 338(t1?t2)2?4t1t2?.
3则：|PQ|?t1?t2?【点睛】本题考查普通方程、参数方程、极坐标方程之间的互化、参数方程中参数几何意义的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 23.已知函数f?x??x?m?m?R?.
（1）若m?3，求不等式f?x??2x?1?1的解集；
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宁夏银川市第二中学2020届高三下学期统练(七)数学(文)试题+Word版含解析
