习题
2-1、试列写图2-40中各电路的微分方程，图中u1、u2为输入、输出电压。
i1 u1 R1 C1 i2 R2 i3 C2 u2 u1 i1 R1 i2 L (b)
图2-40 习题2-1用图
R2 C i3 u2 (a)
答：（a）
设中间变量i1,i2,i3如图所示，则根据基尔霍夫电压回路、节点电流定律，得 u1?i1R1?i2?C1dt -------------------（1）
i2?C1dt?i3R2?u2 --------------------（2） u2??i3dt -------------------（3） C2i1?i2?i3 --------------------（4）
将（3）整理得： i3?C2u'2 ---------------------（5） 将（5）带入到（2），得
i2?C1dt?R2C2u'2?u2 ---------------------（6）
即 i2?C1C2R2u\2?C1u'2 ---------------------（7） 将（5）、（7）带入到（4）及（6）带入到（1），整理得
u1?i1R1??i2dt?(i2?i3)R1?R2C2u'2?u2 C1?(C1C2R2u\2?C1u'2?C2u'2)R1?C2R2u'2?u2
即
R1C1R2C2u\2?R1C1u'2?R1C2u'2?R2C2u'2?u2?u1
设T1?R1C1，T2?R2C2，T3?R1C2，则
T1T2u\2?(T1?T2?T3)u'2?u2?u1
（b）
设中间变量i1,i2,i3如图所示，则根据基尔霍夫电压回路、节点电流定律，得 u1?i1R1?Li'2 -------------------（1） Li'2?i3R2?u2 --------------------（2）
iu2??3dt -------------------（3）
Ci1?i2?i3 --------------------（4）
将（3）变形得： i3?Cu'2 ---------------------（5） 将（5）带入到（2），得
Li'2?R2Cu'2?u2 ---------------------（6）
即 i2?R2C1u2??u2dt ---------------------（7） LL将（5）、（7）带入到（4）及（6）带入到（1），整理得
u1?i1R1?Li'2?(i2?i3)R1?R2Cu'2?u2
?(R2C1u2??u2dt?Cu'2)R1?R2Cu'2?u2 ------（8） LL对（8）两边求导，整理得
(R1C?R2C)u\2?(R1RR2C?1)u'2?1u2?u'1 LL设T1?R1C，T2?R2C，T3?L，则有 R1(T1?T2)u\2?(或者为
T21?1)u'2?u2?u'1 T3T3(T1?T2)T3u\2?(T2?T3)u'2?u2?T3u'1
2-2 、设机械系统如图2-41所示，图中?r、?c为输入、输出角位移（角度），试列写该机械
系统的微分方程。
[提示]扭力矩M与角位移?、弹性系数k成正比。风阻M与角速度?'、阻尼系数f成正比。
J1 J2 k1 k2 f ?r ?a 图2-41 习题2-2用图 ?c \解：根据牛顿第二定律：（对直线运动
?F?ma，而旋转运动?M?J?'?J?）
(?r??a)k1?J1(?r??a)\ -------------------（1） (?a??c)k2?f?'c?J2(?a??c)\ -------------------（2）
在零初始条件下，对式（1）、（2）两试进行拉氏变换，得：
?r(s)k1??a(s)k1?J1s2?r(s)?J1s2?a(s) -------（3）
?a(s)k2??c(s)k2?fs?c(s)?J2s2?a(s)?J2s2?c(s) -------（4）
由式（3）、（4）得：
k1?J1s2?a(s)??(s) -------------------（5） 2rk1?J1s
自动控制系统的数学模型习题答案
