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6、已知，如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,D为AC上一点，且∠BDC=124°，延长BA到点E，使AE=AD,BD的延长线交CE于点F，求∠E的度数。
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7、如图，正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O，将一三角尺的直角顶点放在点O处，让其绕点O旋转，三角尺的直角边与正方形ABCD的两边交于点E和F。通过观察或测量OE,OF的长度，你发现了什么？试说明理由。
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1、解：（1）证明：∵EF=EC，∴∠EFC=∠ECF， ∵EF∥AB， ∴∠B=∠EFC， ∴∠B=∠ECF，∴梯形ABCD是等腰梯形；
（2）△DCF是等腰直角三角形， 证明：∵DE=EC，EF=EC，∴EF=
1CD， 2∴△CDF是直角三角形（如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形），
∵梯形ABCD是等腰梯形， ∴CF= DF=1，
∴△DCF是等腰直角三角形；
（3）共四种情况：PB=1，PB=2，PB=3-2，PB=3+2
2、证明：（1）①∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD，∠1=∠2． 又∵AN=AN， ∴△ABN≌△ADN．
②解：作MH⊥DA交DA的延长线于点H． 由AD∥BC，得∠MAH=∠ABC=60°． 在Rt△AMH中，MH=AM?sin60°=4×sin60°=2
1（BC-AD）=1， ∵DC= 22， ∴由勾股定理得：
3． ∴点M到AD的距离为2 3．
∴AH=2． ∴DH=6+2=8．
（2）解：∵∠ABC=90°， ∴菱形ABCD是正方形． ∴∠CAD=45°． 下面分三种情形： （Ⅰ）若ND=NA，则∠ADN=∠NAD=45°． 此时，点M恰好与点B重合，得x=6；
（Ⅱ）若DN=DA，则∠DNA=∠DAN=45°． 此时，点M恰好与点C重合，得x=12； （Ⅲ）若AN=AD=6，则∠1=∠2． ∵AD∥BC， ∴∠1=∠4，又∠2=∠3， ∴∠3=∠4． ∴CM=CN． ∴AC=6 2． ∴CM=CN=AC-AN=6 2-6． 故x=12-CM=12-（6 2-6）=18-6 2．
综上所述：当x=6或12或18-6 2时，△ADN是等腰三角形。 3、解：（1）用直尺和圆规作图，作图痕迹清晰；
（2）△ABP1≌△ADP，且△ABP1可看成是由△ADP绕点A顺时针旋转90°而得． 理由如下：在△ABP1和△ADP中，
由题意：AB=AD，AP=AP1，∠PAD=∠P1AB， ∴△ABP1≌△ADP，
又∵△ABP1和△ADP有公共顶点A，且∠PAP1=90°，
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∴△ABP1可看成是由△ADP绕点A顺时针旋转90°而得； （3）点P（1，1）关于点A（0，4）左转弯运动到P1（-3，3）， 点P1（-3，3）关于点B（-4，4）左转弯运动到点P2（-5，3）， 点P2（-5，3）关于点C（-4，0）左转弯运动到点P3（-1，1）， 点P3（-1，1）关于点D（0，0）左转弯运动到点P4（1，1）， 点P4（1，1）关于点A（0，4）左转弯运动到点P5（-3，3）， 点P5与点P1重合，点P6与点P2重合，，点P2009的坐标为（-3，3） 点P2010的坐标为（-5，3）．
4、解：（1）如图1，△A2B2C2是△A1B1C1关于直线QN成轴对称的图形；
（2）当△ABC以每秒1个单位长的速度向下平移x秒时（如图2）， 则有：MA=x，MB=x+4，MQ=20， y=S梯形QMBC-S△AMQ-S△ABC =
1114+20）（x+4）- ×20x- ×4×4 222=2x+40（0≤x≤16）． 由一次函数的性质可知：
当x=0时，y取得最小值，且y最小=40，
当x=16时，y取得最大值，且y最大=2×16+40=72； （3）解法一：
当△ABC继续以每秒1个单位长的速度向右平移时， 此时16≤x≤32，PB=20-（x-16）=36-x，PC=PB-4=32-x， ∴y=S梯形BAQP-S△CPQ-S△ABC= =-2x+104（16≤x≤32）． 由一次函数的性质可知：
当x=32时，y取得最小值，且y最小=-2×32+104=40；
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111（4+20）（36-x）-×20×（32-x）- ×4×4 222.
当x=16时，y取得最大值，且y最大=-2×16+104=72． 解法二：
在△ABC自左向右平移的过程中，
△QAC在每一时刻的位置都对应着（2）中△QAC某一时刻的位置， 使得这样的两个三角形关于直线QN成轴对称． 因此，根据轴对称的性质，
只需考查△ABC在自上至下平移过程中△QAC面积的变化情况， 便可以知道△ABC在自左向右平移过程中△QAC面积的变化情况． 当x=16时，y取得最大值，且y最大=72， 当x=32时，y取得最小值，且y最小=40． 5、解：（1）图中有5个等腰三角形，
EF=BE+CF，∵△BEO≌△CFO，且这两个三角形均为等腰三角形， 可得EF=EO+FO=BE+CF；
（2）还有两个等腰三角形，为△BEO、△CFO， 如下图所示：∵EF∥BC，∴∠2=∠3， 又∵∠1=∠2，∴∠1=∠3，
∴△BEO为等腰三角形，在△CFO中，同理可证． ∴EF=BE+CF存在．
（3）有等腰三角形：△BEO、△CFO，此时EF=BE-CF， ∵如下图所示：OE∥BC，∴∠5=∠6，
又∠4=∠5，∴∠4=∠6，∴，△BEO是等腰三角形， 在△CFO中，同理可证△CFO是等腰三角形， 此时EF=BE-CF，
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6、解：在△ABD和△ACE中，
∵AB=AC，∠DAB=∠CAE=90°AD=AE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠E=∠ADB．
∵∠ADB=180°-∠BDC=180°-124°=56°， ∴∠E=56°． 7、解：OE=OF．
证明：正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O， ∴OA=OB，∠OAB=∠OBE=45°，AC⊥BD． ∵∠AOF+∠FOB=∠EOB+∠FOB=90°， ∴∠AOF=∠EOB． 在△AOF和△BOE中
∠OAB=∠OBE，OA=OB，∠AOF=∠EOB， ∴△AOF≌△BOE（ASA）． ∴OE=OF．
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初二奥数题及答案
