2020年全国高中数学联合竞赛一试（B卷）
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分． 1．若实数x满足log2x?log4(2x)?log8(4x)，则x?___________．
2．在平面直角坐标系xOy中，圆?经过点(0,0),(2,4),(3,3)，则圆?上的点原点的距离的最大值为___________． 3．设集合X?{1,2,,20}，A是X的子集，A的元素个数至少是2，且A的所有元素可
排成连续的正整数，则这样的集合A的个数为___________． 4．在三角形ABC中，BC?4,CA?5,AB?6，则sin6AA?cos6?___________． 225．设9元集合A?{a?bi|a,b?{1,2,3}}，i是虚数单位，???z1,z2,元素的一个排列，满足z1?z2?,z9?是A中所有
?z9，则这样的排列?的个数为___________．
6．已知一个正三棱柱的各条棱长均为3，则其外接球的体积为___________． 7．在凸四边形ABCD中，BC?2AD，点P是四边形ABCD所在平面上一点，满足
tPA?2020PB?PC?2020PD?0．设s，t分别为四边形ABCD与PAB的面积，则?s___________．
8．已知首项系数为1的五次多项式f(x)满足：f(n)?8n,n?1,2,项系数为___________．
二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
9．（本题满分16分）在椭圆?中，A为长轴的一个端点，B为短轴的一个端点，F1,F2为两个焦点．若AF1?AF2?BF1?BF2?0，求tan?ABF1?tan?ABF2的值．
,5，则f(x)的一次
12310．（本题满分20分）设正实数a，b，c满足a2?4b2?9c2?4b?12c?2，求??abc的最小值．
nn?????11?51?5???11．（本题满分20分）设数列an的通项公式为an??????,n?1,2,5??2??2????．
证明：存在无穷多个正整数m，使得am?4am?1是完全平方数．
2020年全国高中数学联合竞赛加试（B卷）
一、（本题满分40分）如图，A，B，C，D，E是圆?上顺次的五点，满足ABC?BCD?CDE，点P，Q分别在线段AD,BE上，且P在线段CQ上，证明：?PAQ??PEQ．
高三冲刺复习训练
二、（本题满分40分）设集合A?{1,2,足
（1）S1?S2??,S1?S2?A； （2）S1,S2都至少有4个元素；
（3）S1的所有元素的和等于S2的所有元素的乘积？证明你的结论． 三、（本题满分50分）给定整数n?2．设a1,a2,a1?a2?a1?a2??an?b1?b2?,an,b1,b2,,bn?0，满足
,19}．是否存在集合A的非空子集S1,S2，满
?bn，且对任意i,j(1?i?j?n)，均有aiaj?bi?bj．求
?an的最小值．
四、（本题满分50分）设a，b为不超过12的正整数，满足：存在常数C，使得
an?bn?9?C(mod13)对任意正整数n成立．求所有满足条件的有序数对(a,b)．
2020年全国高中数学联合竞赛一试（B卷）
参考答案及评分标准
1．答案：128． 解：由条件知
log2x?log42?log4x?log84?log8x?解得log2x?7，故x?128． 2．答案：25．
1121?log2x??log2x， 2233解：记A(2,4),B(3,3)，圆?经过点O，A，B．注意到?OBA?90?（直线OB与AB的斜率分别为1和?1），故OA为圆?的直径．从而圆?上的点到原点O的距离的最大值为
|OA|?25．
3．答案：190．
解：每个满足条件的集合A可由其最小元素a与最大元素b唯一确定，其中a,b?X,a?b，
2?190种，所以这样的集合A的个数为190． 这样的(a,b)的取法共有C20高三冲刺复习训练
4．答案：
43． 64CA2?AB2?BC252?62?423解：由余弦定理得cosA?2CA?AB?2?5?6?4，所以 sin6A2?cos6A2????sin2A2?cos2A??2????sin4AAAA?2?sin22cos22?cos42?? 2????sin2A?cos2A????3sin2AA222cos22
?1?34sin2A
?14?34cos2A?4364． 5．答案：8． 解：由于
|1?i|?|2?i|?|1?2i|?|2?2i|?|3?i|?|1?3i|?|3?2i|?|2?3i|?|3?3i|， 故z1?1?i,?z2,z3??{2?i,1?2i},z4?2?2i,?z5,z6??{3?i,1?3i}，
?z7,z8??{3?2i,2?3i},z9?3?3i，
由乘法原理知，满足条件的排列?的个数为23?8． 6．答案：
7212?． 解：如图，设面ABC和面A1B1C1的中心分别为O和O1，记线段OO1的中点为P，由对称性知，P为正三棱柱外接球的球心，PA为外接球的半径． 易知PO?AO，所以
?32PA?PO2?AO2???21?2???(3)2?2，
3故外接球的体积为43???21?721?． ?2???2高三冲刺复习训练
2020全国高中数学联赛B卷(一试+加试)
