§5.3 平面向量的数量积
最新考纲 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义． 2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系． 3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算． 4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 主要考查利用数量积的定义解决数量积的运算、投影、求模与夹角等问题，考查利用数量积的坐标表示求两个向量的夹角、模以及判断两个平面向量的垂直关系．一般以选择题、填空题的形式考查，偶尔会在解答题中出现，属于中档题. 考情考向分析
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1．两个向量的夹角 (1)定义
→→
已知两个非零向量a，b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a，
b〉．
(2)范围
向量夹角〈a，b〉的范围是[0，π]，且〈a，b〉＝〈b，a〉． (3)向量垂直
π
如果〈a，b〉＝，则a与b垂直，记作a⊥b.
22．向量在轴上的正射影
→
已知向量a和轴l(如图)，作OA＝a，过点O，A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1，A1，则→
向量O1A1叫做向量a在轴l上的正射影(简称射影)，该射影在轴l上的坐标，称作a在轴l
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上的数量或在轴l的方向上的数量．
→
OA＝a在轴l上正射影的坐标记作al，向量a的方向与轴l的正向所成的角为θ，则由三角
函数中的余弦定义有al＝|a|cosθ. 3．向量的数量积
(1)向量的数量积(内积)的定义
|a||b|cos〈a，b〉叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，
b〉．
(2)向量数量积的性质
①如果e是单位向量，则a·e＝e·a＝|a|cos〈a，e〉； ②a⊥b?a·b＝0；
③a·a＝|a|，|a|＝a·a； ④cos〈a，b〉＝
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a·b (|a||b|≠0)；
|a||b|
⑤|a·b|≤|a||b|. (3)向量数量积的运算律 ①交换律：a·b＝b·a.
②对λ∈R，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)． ③分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c. (4)向量数量积的坐标运算与度量公式 设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则 ①a·b＝a1b1＋a2b2； ②a⊥b?a1b1＋a2b2＝0； ③|a|＝a1＋a2；
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2024版高考数学大一轮复习-5.3平面向量的数量积教案(文)(含解析)新人教A版
