人教A版高中数学选修4-5同步练习-绝对不等式的解法

第一讲 不等式和绝对值不等式

1.2 绝对值不等式 1.2.2 绝对不等式的解法

A级 基础巩固

一、选择题

1．不等式|x－2|>x－2的解集是( ) A．(－∞，2) B．(－∞，＋∞) C．(2，＋∞)

D．(－∞，2)∪(2，＋∞)

解析：原不等式同解于x－2<0，即x<2. 答案：A

2．不等式|x|·(1－2x)>0的解集是( )

A.???

－∞，1?2??

B．(－∞，0)∪??1?

?

0，2??

C.??1??2，＋∞??

D.???0，1?2??

解析：原不等式等价于???x≠0，1

??1－2x>0，解得x<2且x≠0，

即x∈(－∞，0)∪???

0，1?

2??. 答案：B

3．(2017·天津卷)设θ∈R，则“??π?

θ－?π12??＜12”是“sin ( )

1

＜1

2”

θ的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

?ππππ?π??解析：因为θ－＜，所以－＜θ－＜，

12121212?12?

即0＜θ＜

π

. 6

π1

显然0＜θ＜时，sin θ＜成立．

62

π1

但sin θ＜时，由周期函数的性质知0＜θ＜不一定成立．

26

?π?π1

故?θ－?<是sin θ＜的充分而不必要条件．

212?12?

故选A. 答案：A

4．若不等式|ax＋2|＜6的解集为(－1，2)，则实数a的取值为( )

A．8 C．－4

B．2 D．－8

解析：原不等式化为－6＜ax＋2＜6，即－8＜ax＜4. 又因为－1＜x＜2，所以验证选项易知a＝－4适合． 答案：C

5．当|x－2|＜a时，不等式|x2－4|＜1成立，则正数a的取值范围是( )

A．a＞5－2 C．a≥5－2

B．0＜a≤5－2 D．以上都不正确

2

解析：由|x－2|＜a，得－a＋2＜x＜a＋2， 由|x2－4|＜1，得3＜x＜5或－5＜x＜－3.

??a＋2≤5，所以?即0＜a≤5－2，

??－a＋2≥3，??a＋2≤－3，或?无解． ??－a＋2≥－5，

答案：B 二、填空题

6．若关于x的不等式|x＋2|＋|x－1|

解析：|x＋2|＋|x－1|≥|(x＋2)－(x－1)|＝3，所以a≤3. 答案：(－∞，3]

4

7．若不等式|x＋1|＋|x－3|≥a＋对任意的实数x恒成立，则实

a数a的取值范围是________．

解析：当a＜0时，显然成立；

4

因为|x＋1|＋|x－3|的最小值为4，所以a＋≤4.所以a＝2，

a综上可知a∈(－∞，0)∪{2}． 答案：(－∞，0)∪{2}

8．设函数f(x)＝|2x－1|＋x＋3，若f(x)≤5，则x的取值范围是________________．

解析：f(x)≤5?|2x－1|＋x－2≤0，

??2x－1≥0，1①?解得≤x≤1.

2?2x－1＋x－2≤0，???2x－1<0，1

?②解得－1≤x<. 2?－2x＋1＋x－2≤0，?

3

综上可得－1≤x≤1. 答案：[－1，1] 三、解答题

9．已知函数f(x)＝|x－a|.

(1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数a的值； (2)在(1)的条件下，若f(x)＋f(x＋5)≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．

解：(1)由f(x)≤3，得|x－a|≤3，解得a－3≤x≤a＋3. 又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，

??a－3＝－1，所以?，解得a＝2.

??a＋3＝5，

(2)由(1)知a＝2，此时f(x)＝|x－2|，设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)＝|x－2x－1，x<－3，??

－2|＋|x＋3|，于是g(x)＝?5，－3≤x≤2，

??2x＋1，x>2.

利用g(x)的单调性，易知g(x)的最小值为5.

因此，若g(x)＝f(x)＋f(x＋5)≥m对x∈R恒成立，则m≤g(x)min. 即实数m的取值范围是(－∞，5]．

10．(2016·全国Ⅲ卷)已知函数f(x)＝|2x－a|＋a. (1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；

(2)设g(x)＝|2x－1|，当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求实数a的取值范围．

解：(1)当a＝2时，f(x)＝|2x－2|＋2. 解不等式|2x－2|＋2≤6得－1≤x≤3. 因此f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}． (2)当x∈R时，

4

f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|2x－1|≥|2x－a＋1－2x|＋a＝|1－a|＋a.

所以f(x)＋g(x)≥3等价于|1－a|＋a≥3.① 当a≤1时，①等价于1－a＋a≥3，无解； 当a＞1时，①等价于a－1＋a≥3，解得a≥2. 所以a的取值范围是[2，＋∞)．

B级 能力提升

1．不等式|x＋3|－|x－1|≤a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为( )

A．(－∞，－1]∪[4，＋∞) B．(－∞，－2]∪[5，＋∞) C．[1，2]

D．(－∞，1]∪[2，＋∞)

解析：由绝对值的几何意义得|x＋3|－|x－1|的最大值为4，所以a2－3a≥4恒成立，即a≥4或a≤－1.

答案：A

2．若关于x的不等式|x＋1|≥kx恒成立，则实数k的取值范围是________．

解析：作出y＝|x＋1|与y＝kx的图象，如图，当k＜0时，直线一定经过第二、第四象限，从图看出明显不恒成立；当k＝0时，直线为x轴，符合题意；当k＞0时，要使|x＋1|≥kx恒成立，只需 k≤1.

5