分析茎叶图可得：
甲运动员的得分为：10，15，22，23，31，32，34，36，37，38，44，44，49，51 乙运动员的得分为：8，12，14，17，21，29，29，33，36，52 则甲运动员得分的平均数为=38，
乙运动员得分的平均数为
1（10+15+22+23+31+32+34+36+37+38+44+44+49+51）141（8+12+14+17+21+29+29+33+36+52）=37． 10甲运动员的最低得分为10分． 故答案为：①． 【点睛】
茎叶图的茎是高位，叶是低位，所以本题中“茎是十位”，叶是个位，从图中分析出参与运算的数据，代入相应公式即可解答．从茎叶图中提取数据是利用茎叶图解决问题的关键
三、解答题
17．数列?an?满足an?1?an?2，且a4?8，正项数列?bn?满足bn是1和2an的等比中项．
（1）求数列?an?，?bn?的通项公式． （2）求?an?bn?的前n项和Sn．
n?1n【答案】（1）an?2n，bn?2； （2）n?n?1??2?2.
【解析】（1）由an?1?an?2，得到?an?是公差为2的等差数列，进而求得数列?an?的通项公式，又由bn是1和2an的等比中项，即可求得数列?bn?的通项公式；
n（2）由（1）可得an?bn?2n?2，利用等差、等比数列的前前n项和公式，即可求
解． 【详解】
（1）由题意，数列?an?满足an?1?an?2，即an?1?an?2， 所以?an?是公差为2的等差数列．
又因为a4?8，即a1?3?2?8，解得a1?2，所以an?a1?(n?1)d?2n．
22nn又由bn是1和2an的等比中项，且bn?0，可得bn?2，所以bn?2．
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n（2）由（1）可得an?bn?2n?2，
所以
Sn??a1?b1???a2?b2??L??an?bn???2?4?6?L?2n???21?22?L?2n?
n(2?2n)2(1?2n)???n?n?1??2n?1?2．
21?2【点睛】
本题主要考查了等差数列的定义，以及等差、等比数列的通项公式，以及等差、等比数列的前n项和公式的应用，其中解答中熟记等差、等比数列的通项公式和前n项和公式，准确运算时解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
18．为庆祝国庆节，某中学团委组织了“歌颂祖国，爱我中华”知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名，将其成绩(成绩均为整数)分成[40，50)，[50，60)，…，[90，100)六组，并画出如图所示的部分频率分布直方图，观察图形，回答下列问题：
(1)求第四组的频率，并补全这个频率分布直方图； (2)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)和平均分． 【答案】(1)0.3；图见解析；(2) 及格率是75%；平均分为71分． 【解析】(1)利用各组的频率和等于1可求；
(2)及格率就是[60,100]之间的频率之和，平均分利用区间中点值和频率积进行求解. 【详解】
解：(1)因为各组的频率和等于1，
所以第四组的频率为1?(0.025?0.015?2?0.010?0.005)?10?0.3. 补全的频率分布直方图如图所示．
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(2)依题意可得第三、10＝0.75， 四、五、六组的频率之和为(0.015＋0.030＋0.025＋0.005)×则可估计这次考试的及格率是75%.
0.1＋55×0.156＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝因为抽取学生的平均分约为45×
71(分)，所以可估计这次考试的平均分为71分． 【点睛】
本题主要考查频率分布直方图的应用，利用频率之和为1可以求解未知区间的频率，利用所有区间中点值与频率积的和可得平均数，侧重考查识图能力及数据分析的核心素养.
19．如图，在四面体P?ABC中，PA?平面ABC，AB?3，AC?4，BC?5，且
D，E，F分别为BC，PC，AB的中点．
（1）求证：AC?平面PAB；
（2）G是棱PA中点，求证：FG∥平面ADE． 【答案】（1）见解析； （2）见解析.
【解析】（1）利用线面垂直的判定定理，即可证得AC?平面PAB；
（2）利用线面平行的判定定理，先证得PB//平面ADE，进而得到FG∥平面ADE．【详解】
（1）在?ABC中，因为AB?3，AC?4，BC?5， 可得AB2?AC2?BC2，所以AC?AB．
又PA?平面ABC，AC?平面ABC，∴PA?AC． 又PAIAB?A，∴AC?平面PAB．
（2）因为D，E分别是棱BC，PC的中点，所以DEPPB．
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又PB?平面ADE，DE?平面ADE，∴PB//平面ADE． ∵F是AB中点，∴FGPPB．
又FG?平面ADE，∴FG∥平面ADE． 【点睛】
本题主要考查了线面垂直与线面平行的判定与证明，其中解答中结合几何体的结构特征，熟练应用线面平行、线面垂直的判定定理是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题． 20．在上的点. （I）求角； （Ⅱ）若
，
，.
边化角为
，再结合
，求
的长，
中，角，，所对的边分别为，，，且
，是
边
【答案】（I）；（Ⅱ）
【解析】（I）利用正弦定理将
三角形内角和定理、两角和的正弦公式即可得到B。 （Ⅱ）利用余弦定理先求出长。 【详解】 （I）由
，得
，
，
，∵
（Ⅱ）在由余弦定理得在
中，
，
中，
，，∴
，
，∴，
，所以
，由正弦定理，得
， ，
.
进而得到
，由正弦定理即可得到
的
所以【点睛】
.
本题关键是要掌握正弦定理的变形公式，，，，将边化
为角来处理问题，在解三角形时，往往三角形内角和定理最容易忽略的，利用内角和定理可简化未知角的数量。
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21．在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1?BC?2，AB?AC?22，过BC的截面?与面AB1C1交于EF．
（1）求证：EF∥BC．
（2）若截面?过点A1，求证：??面AEF． （3）在（2）的条件下，求VA1?EFA． 【答案】（1）见解析； （2）见解析；（3）
2. 3【解析】（1）由三棱柱ABC?A1B1C1结构特征，证得BC∥面AB1C1，再由线面平行的性质定理，即可得到BC//EF；
（2）取EF的中点O，连接A1O和AO，得到AO?EF，再由勾股定理，证得
A1O?AO，利用线面垂直的判定定理，即可得到A1O?面AEF，进而得到??面
AEF．
（3）由VA1?EFA?VE?A1AO?VF?A1AO?2VE?A1AO，即可求得三棱锥的体积． 【详解】
（1）由题意，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，可得BC//B1C1，所以BC∥面AB1C1， 又∵BC?面?，?I面AB1C1?EF， 由线面平行的性质定理，可得BC//EF． （2）取EF的中点O，连接A1O和AO， ∵截面?过点A1，∴截面?即为面A1BC， ∴E、F分别为B1A，AC1中点，即AE?AF， 又∵O为EF中点，∴AO?EF， 在Rt△AOE中，AE?3，EO?1，∴AO?2，
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2019-2020学年江西省赣州市十五县（市）高二上学期期中考试数学（文）试题（解析版）
